2. 4. Погрешности арифметических выражений

При выполнении действий с приближёнными числами получается также приближённое число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем, которые выведены из предположения о малости абсолютных погрешностей (а^), (b^) исходных приближенных чисел а^ и b^.

1. Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности) чисел a и b равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых:

(а^  b^) = (а^) + ( b^). (2.6)

2.Относительная погрешность алгебраической суммы чисел a и b заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей чисел a и b:

min((а^), (b^))  (а^  b^)  max ((а^),(b^)). (2.7)

3. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя:

 (а^  b^) =  (а^) +  ( b^); (2.8)

 (а^ / b^) =  (а^) +  ( b^). (2.9)

4.Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как у целых, так и для дробных n) :

 (а^)ⁿ) = (а^). (2.10)

С точки зрения потери точности наиболее неблагоприятным является вычитание близких чисел. В этом случае у близких чисел а^ и b^ при малых абсолютных погрешностях (а^) и (b^) относительная погрешность разности, равная  (а^ - b^) = ((а^) + ( b^))/а^ -b^, может стать весьма большой из-за малости знаменателя дроби. Данное явление называют потерей точности при вычитании близких чисел. Для предотвращения этого явления необходимо изменять расчетные формулы.

Доказательства (2.6) - (2.10) основаны на представлении приближенных чисел в виде а^ = а + r(а^,а) и свойствах модуля. Например, для (2.6):

(а^  b^) = (а^ b^)-(а  b)=r(а^,а)r(b^,b)≤r(а^,а)+r(b^, b) = (а^) + (b^).

Пользуясь теоремами (2.6) - (2.10), можно определить теоретическое значение погрешности результата любой комбинации арифметических действий над приближенными числами. Однако практическое использование теоретических значений погрешностей выражений (2.6) - (2.10) должно быть дополнено учетом особенностей представления чисел в системах с постоянными основаниями, поскольку реальные расчеты (как ручные, так и машинные) всегда выполняются с числами, представленными в данных системах.

Из-за того, что реальные записи результирующих чисел округляют до некоторого заданного числа десятичных знаков или значащих цифр, то малая погрешность при этом может потеряться на фоне большой либо в запись числа могут попасть неверные знаки. Поэтому для приближенной оценки погрешности арифметических операций используют следующие упрощенные правила учета цифр и знаков в записи результатов.

1. При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет исходное приближённое число с наименьшим числом десятичных знаков.

2. При умножении и делении приближённых чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет исходное приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр.

3. При возведении в квадрат или куб (извлечении квадратного и кубического корней) в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число.

4. Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной значащей цифрой больше, чем требуется для необходимой точности расчета. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается при округлении.

5. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты расчета арифметических выражений будут иметь все знаки верными, в худших случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего знака.

Вопросы для проверки знаний.

1. Почему теоремы (2.6) - (2.10) имеют в основном теоретическое значение ?

2. Какое явление называют потерей точности при вычитании близких чисел и в чем его причина ?

3. Почему помимо теоретических оценок погрешностей (2.6) - (2.10) используют правила учета цифр и знаков в записи результатов арифметических действий ?

Практические задания.

1. Доказать теоретическую оценку погрешностей: а) (2.7), б)(2.8), в) (2.9), г)(2.10).