Тема: бесконечно малые величины и их свойства

Пусть функция , при , тогда эта функция называется бесконечно малой величиной при .

Если , то функцию можно назвать бесконечно малой величиной, но если , то функцию нельзя назвать бесконечно малой величиной.

Основные свойства

1. Пусть предел функции , при , тогда в некоторой окрестности точки , справедливо равенство , где бесконечное, при .

2. Пусть в некоторой окрестности точки справедливо равенство

При , тогда предел этой функции при = b

3. если , при , то , стремится к бесконечности

4. Алгебраическая сума конечного числа точки M величин есть также Mb

5. Произведение Mb на ограниченную функцию, есть Mb

Следствие

1. Произведение M на постоянную величину есть M

2. Произведение конечного числа Mb естьMb

Тема: Основные теоремы о пределах

Теорема 1

Предел суммы или разности конечного числа слагаемых функций равен соответственно сумме или разности пределов каждой функции

Теорема 2

Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов сомножителей

Теорема 3

Предел частного двух функций равен отношению их пределов, если предел знаменателя отличен от 0

Теорема 4

Пусть функция удовлетворяет условию:

и пусть пределы крайних функций равны друг другу и равны b, тогда предел средней функции существует и равен b

lim=

n! =1·2·3·4…………n

n- Факториал

0!=1, 2!=2

1!=1, 3!=1·2·3=6, 4!=24

Теорема 5

Пусть некоторая функция y= при стремится к пределу , принимая при этом все время не отрицательные значения, тогда предел , тогда b также не отрицателен

Теорема 6

Пусть при две функции связанные неравенством стремятся к некоторым пределам, тогда , их пределы связаны таким же неравенством

Теорема 7

Если переменная величина монотонно возрастает и ограничено сверху числом М, то она имеет предел не превосходящий М.

Тема: Первый замечательный предел

Рассмотрим S

y D

A

0 xc B x

Рассмотрим

Тема: второй замечательный предел. Число e, натуральные логарифмы

Рассмотрим числовую последовательность

Теорема:

Предел последовательности при равен числу e иррациональное число

Теорема:

Рассмотрим функцию , пусть принимая при этом иррациональные и рациональные значения, т.е. непрерывно , тогда можно доказать теорему

Натуральный логарифм

экспонент

Найти предел функции:

1 в любой конечной степени остается единицей

=

Тема: Сравнение бесконечно малых величин

Пусть даны две функции

1) пусть этот предел равен случайному. с≠0, тогда эти, называются бесконечно малыми одного порядка малости или одного порядка.

Пусть с=1, тогда. называются эквивалентами

при 

3. Пусть величина этого случайного предела =0, то называют более высокого порядка по сравнению с , и являются одного порядка, тогда называют

катово порядка малости по сравнению с .

Непрерывность функции в точки и области

Пусть функция определяется в точке и в некоторой ее окрестности.

Функция называется непрерывной в точке если справедливо равенство

Функция называется непрерывной, если то предел этой функции совпадает со значением в точки

Если , то (соответствующее превращение функции)

Функция называется непрерывной в точке если превращения аргумента соответствует превращения функции.

Пусть , то , первое неравенство

Если непрерывна в точке , то предел этой функции при вычисляется подстановкой предельного значения аргумента в функциональное выражение.

Если непрерывна во всех точках области, то она называется непрерывное в этой области.

Если непрерывна в некоторой области, то ее график в этой области является сплошной линией.

Если график функции имеет разрывы, то такую функцию нельзя назвать непрерывной на этой области.