Тема: Совместные исследования уравнения двух прямых

Выяснить с помощью алгебраического метода все принципиальные различные виды взаимного расположения этих прямых.

Составим систему из этих уравнений и будем ее исследовать.

x;y- неизвестные

А₁; А₂; В₁; В₂; С₁; С₂- заданные

1) , тогда по теореме Крамера система имеет решение и при том единственное.

Это означает, что данное решение при подстановке его а уравнения прямых обращает их в тождества.

На геометрическом языке это означает, что существует единственная точка общая для этих двух прямых, т.е. прямые пересекаются.

1) , тогда

а) хотя бы один из побочных определителей отличен от 0. Системе не имеет решений, т.е. не существует ни одной упорядоченной пары чисел одновременно удовлетворяющей ее общим уравнениям.

На геометрическом языке: прямые не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

б)

Система имеет бесчисленное множество решений. Обе прямые имеют бесконечно много общих точек. Прямые совпадают (сливаются)

Тема: Не полное уравнение прямой

Рассмотрим ПДСК на плоскости

y

M

N

P

α

0 x

L

Задача: вывести уравнение этой прямой содержащее параметры P и

N- Текущая точка

N (х;у)

Нормальное уравнение прямой

Тема: аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость в пространстве, как поверхность первого порядка

А; B; C; D –заданные, а само равенство можно рассматривать как линейное алгебраическое уравнение с тремя неизвестными.

Рассмотрим первую теорему

Теорема №1

Любая плоскость в ПДСК определяется уравнением

z

y

M₀ M

x

Рассмотрим не нулевой П

Теорема доказана

Обратная теорема

Теорема 2: Всякое равенство задает в пространстве ПДСК некоторую плоскость.

Доказательство:

Всякое равенство с точки зрения алгебры есть уравнение с тремя неизвестными.

Пусть () – решение, тогда при постановке его в получаем тождество

, вычитаем из

Из теоремы №1 ясно, что это уравнение плоскости проходящей через точку с координатами

и имеющей нормальный вектор с координатами (а; в; с)

Теорема доказана.

Тема: Неполные уравнения плоскости

1 случай: А=0, тогда - уравнение плоскости либо // ох, либо содержит в себе эту ось.

2 случай: В=0, - уравнение плоскости либо // оу, либо содержит в себе эту ось.

3 случай: С=0, - уравнение плоскости либо // оz, либо содержит в себе эту ось.

4 случай: D=0, -уравнение проходит через начальную точку отсчета

5 случай A=0; B=0, –уравнение либо параллельно с плоскостью, либо совпадает с ней

6 случай: A=0; C=0,

7 случай: B=0; C=0,

8 случай: A=0; B=0; D=0

C_z=0,

z=0 – плоскость xoy

9 случай: А=0; С=0; D=0

y=0 –плоскость oxz

10 случай: В=0; С=0; D=0

x=0 – плоскость oyz