Тема: Механический и геометрический смысл производной.
Производная закона движения тела или материальной точки равна мгновенной его скорости.
Геометрический смысл производной
f(x0+Δx) B
Δy
A φ
f(x0)
α
Δx
0 x0-ε x0 x0+ε
Пусть в некоторой
окружности точки
,
задана функция
.
Рассмотрим
превращение аргумента
.
Пусть точка А
не подвижна, а точка В скатывается к
точке А по кривой АВ, при этом
и значит
.
Пир этом хорда поворачивается вокруг
точки А против часовой стрелки, как
вокруг центра вращения и в пределе
займет положение касательной к кривой
в точке А.
(tg угла наклонной хорды)
Вывод: производная
функции
,
вычисленная в точке
=
проведенной
к графику этой функции в точке абсцисса
которой
.
Тема: Дифференцируемость функции
Не каждая функция является дифференцируемой. Рассмотрим связь между непрерывными и дифференцируемыми функциями.
Теорема: Если
дифференцируема
в точке
,
то она непрерывна в этой точке
Доказательство:
Тогда по одной из теорем, теореме пределов запишем следствие этого
Где
,
тогда
при
,
Обратная теорема не верна, существуют функции непрерывные, но не дифференцированные в некоторой точке.
Тема: Производные некоторых элементарных функций.
Операция дифференцирования, как и любая математическая операция, имеет свою таблицу, которая называется таблицей производных. Составим эту таблицу.
1)
степенная
функция, n- любое
действительное число
a)
2)
3)
4)
5)
6)
a)
б)
7)
Следствие:
Рассм. Ф-цию
Постоянный множитель можно выносить за знак производной
8)
Можно доказать, что в данном случае обозначение предела и логарифма можно поменять местами.
Пусть
Тема: Понятие сложной функции и ее производная
Пусть функция
задана
-
аргумент независимой переменной
U – зависимая или промежуточная переменная
-
значение функции.
Функция, заданная системой таких равенств называется сложной функцией.
Теорема: Если
функция
имеет производную
в некоторой точке
,
а функция
имеет производную
в соответствующей точки то функция
имеет производную в указанной точки
,
и эта производная имеет вид
Пример:
Замечание: функция, записанная в условии
задачи, была не табличной, после введения
,
мы пришли к табличной функции.
Следствие: количество промежуточных переменных в формуле сложной функции зависит только от поставленной задачи.
Тема: Производная функций и
9)
10)
