Тема: Некоторые свойства непрерывной функции.

1. Сумма или разность двух функций непрерывных в точке , непрерывна в этой точке.

2. Произведение двух функций непрерывных в точке , непрерывно в этой точке.

3. Частное двух функций непрерывных в точке , непрерывно в этой точке, если значение знаменателя отлично от 0.

4. Пусть дана сплошная функция вида , тогда если непрерывна в точке , и , непрерывных в точке ,то функция , непрерывна в

Тема: Условие непрерывности функции

Пусть определена в точке и в некоторой ее окрестности

Теорема: Для того чтобы было непрерывно в точке , необходимо и достаточно выполнения следующих действий

1) определена в точке и некоторой ее окрестности (если изолирована, то функция непрерывной быть не может)

2) Существуют лево и правосторонние пределы функции при

3) Значение этих пределов совпадают

4) Значение этих пределов совпадают со значением этих функций в этой точке

Вывод: если одно или несколько из этих условий не выполняется ,то функция не является непрерывной в точке , или как говорят, терпит разрыв, -точка разрыва.

y

0 x

1. функция не существует при

2. 

Тема: Классификация точек разрыва

Пусть для функции в точке выполняются все условия непрерывности за исключением первого. Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Пример:

функция не определенная.

y

2

2 2 x

Можно доопределить эту функцию положив , тогда разрыв исчезает и функция становится

непрерывной на всей числовой оси.

Если выполняется 2-ое условие ноне выполняется 3-е и следовательно 4-ое, то такая точка разрыва называется точка разрыва первого рода.

Пример:

Не выполняются два условия, если хотя бы один из двух пределов не существует или равен , то точка называется точка разрыва второго рода.

Тема: Производная и дифференциал

A B

Средняя есть общее (глобальное) характеристика движения, она говорит только о том, что если бы автомобиль двигался со строго средней скоростью, то он установленную за установленное время. Ни какой информации о движении на конкретном участке путь средняя не дает.

Рассмотрим произвольную точку С автомобиль прошел ее во время , точку D за

CD прошел за , _ср =,

C

A B

t₀ D t₀+Δt

Пусть точка С не подвижна, а точка D приближается к ней по этому пути, тогда

Рассмотрим предел мгновенная

Мгновенная - есть локальная характеристика движения тела, т.е. она показывает движения в данной точке .

Тема: Определение производной ее геометрический и механический смысл.

Пусть задана в некоторой окрестности точки , рассмотрим превращение аргумента , не выходящее за рамки этой окрестности, тогда

Рассмотрим

Предел отношения превращения функции к превращению аргумента при , если он существует, называется производной функцией в точке .

Производная тоже является функцией (так как с изменением , значение производной меняется) переходом функции к ее производной

Операция вычисления производной функции называется дифференцированье функции этой функции.

Если имеет производную в точке , то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на этом промежутке.