II. Второй вопрос задачи

Для успешного ответа на второй вопрос задачи необходимо ознакомиться с литературой по основам теории вероятностей [8, с.47-53].

Задачи этого типа решаются с помощью классической схемы определения веро­ятности, которая предполагает, что существует множество равновозможных и взаимоисключающих результатов некоторого эксперимента. Причем только часть из этих результатов устраивает заинтересованное лицо. Отношение количества подходящих вариантов к общему их количеству дает числовую меру возможности появления подходящего варианта, называемую вероятностью:

.

Поскольку в числитель данной формулы заносятся числа, соответствующие ко­личеству подходящих вариантов, а в знаменатель - соответствующие общему ко­личеству возможных вариантов, то решение таких задач часто связано с решением частных комбинаторных задач.

Пример 9. Из ящика с двенадцатью шарами, среди которых 6 черных и 6 бе­лых, извлекают два шара. Какова вероятность, что они разноцветные?

Решение:

Общее количество возможных вариантов выбора 2-х шаров из 12-ти опреде­лится по формуле сочетаний без повторений (один шар не может быть выбран дважды).

N==66.

Количество вариантов, соответствующих заданным условиям, определим из следующих соображений. Требуется достать один белый шар и один черный. Ко­личество вариантов выбора одного черного шара из 6-ти черных (или одного бе­лого шара из 6-ти белых) определяется по формуле сочетаний без повторений .

Для окончательного определения количества подходящих вариантов следует воспользоваться комбинаторным правилом произведения (выбираем и белый шар и черный).

M=.

По формуле классической вероятности получаем ответ на поставленный в за­даче вопрос.

=0,5454.

Задачи 11-20

Для успешного ответа на вопросы этих задач необходимо ознакомиться с ли­тературой по основным теоремам теории вероятностей [8, с.53-58].

I. Первый вопрос задачи

Задачи этого типа предполагают, что могут иметь место различные взаимоис­ключающие случаи, и в каждом из таких случаев, кроме того может появиться (или не появиться) некоторый факт (событие). Эти задачи решаются с помощью фор­мулы полной вероятности:

,

здесь А – событие, вероятность которого определяется;

P(А) – искомая вероятность;

B_i – событие, характеризующее случай номер "i";

P(B_i) – вероятность появления случая номер "i" (или его доля в общей массе случаев);

N – количество возможных случаев;

P(A/B_i) – вероятность появления события А в ситуации, когда наблюдается случай номер "i" (называется условной вероятностью).

Пример 10. Трое рабочих изготавливают детали. Первый производит 10 всей продукции, второй - 40, третий - 50. Вероятность того, что первый рабо­чий изготовит бракованную деталь, равна 0,04; второй - 0,03; третий - 0,02. Какова вероятность того, что выбранная наугад деталь окажется бракованной?

Решение:

Опыт состоит в выборе наугад детали. Сделаем предположения: B₁ – "деталь изготовлена первым рабочим", B₂ – "деталь изготовлена вторым рабочим", B₃ – "деталь изготовлена третьим рабочим". По условию задачи P(B₁)=0,1 (10 от всех деталей), P(B₂)=0,4, P(B₃)=0,5.

Обозначим событие A - "выбранная деталь - бракованная" и определим ус­ловные вероятности наступления события A:

P(A/B₁)=0,04 (вероятность изготовления бракованной детали первым рабо­чим); P(A/B₂)=0,03 (брак по вине второго); P(A/B₃)=0,02 (брак по вине третьего).

По формуле полной вероятности получаем:

P(А)= 0,1·0,04 + 0,4·0,03 + 0,5·0,02=0,026.