§ 4. Процедура решения V варианта закона срав­ни­тельных оценок для полной матрицы

В V варианте закона, записанном в общем виде (9), единицы измерения шкальных значений всегда можно подобрать так, чтобы константа “с” была равна 1. Тогда:

S_j - S_i = z_j,i. (12)

В случае отсутствия ошибок в оценках искомое различие будет равно наблюдаемому (обозначим его z'_j,i). Но в результате ошибок между z'_j,i и z_j,i будет некоторое расхождение a. Задача заключается в получении такого множества оценок шкальных значений стимулов, для которых сумма квадратов всех расхождений является минимальной, т.е. необходимо минимизировать величину

(13)

Подставив вместо z_i,j шкальные значения, получим:

(14)

Все a_i,j для всех z_i,j из матрицы Z дадут матрицу ошибок a. Чтобы минимизировать каждую a_i,j, необходимо взять частную производную a_i,j по S_i и S_j. Каждое частное значение S_i в матрице ошибок a появляется только в i-той строке и i-том столбце, но поскольку матрица ошибок так же кососимметрична [z_i,j= -z_j,i и (Si-Sj)= -(Sj-Si)], как и матрица Z, то для каждой S_i частная производная будет касаться только i-го столбца. Дифференцируя элементы каждого столбца по S_i, получим:

(15)

где i = 1,2 ... , n.

Приравняем частную производную нулю и после переноса получим:

(16)

Разделим выражение (16) на n и возьмем начальное значение шкалы, равное . В результате получим:

(17)

где i=1,2 ... , n

Таким образом, для минимизации ошибки необходимо просто взять среднее арифметическое по столбцу матрицы Z и мы получим оптимальное значение шкальной величины S_i.

Рассмотрим практический пример решения V варианта закона сравнительных оценок методом наименьших квадратов (данные вымышлены). Испытуемому в случайном порядке предъявляются 6 цветных карт из малого набора теста Люшера и просят в каждой паре выбрать наиболее красивый. Каждая пара предъявляется по 50 раз. В итоге для одного из испытуемых была получена следующая матрица частот F (табл.1):

Таблица 1

Матрица частот f

Примечание. Элементом матрицы f_i,j является частота, с которой в паре j,i стимул i оценивался более красивым, чем стимул j.

Полученная матрица частот F преобразуется в матрицу вероятностей P делением частоты f_i,j на число предъявлений (N=50).

Таблица 2

Матрица вероятностей p

Примечание. Элементом матрицы p_i,j является вероятность, с которой стимул i в паре j,i оценивался более красивым, чем стимул j.

Каждое значение вероятности p_i,j из матрицы P переводится далее с помощью таблицы в единицы стандартного отклонения нормальной кривой — z_i,j, по которым и вычисляются шкальные значения S_i каждого стимула.

Таблица 3

Матрица z ‑ оценок

Примечание. Элементом матрицы z_i,j является вероятность p_j,i, преобразованная в единицы стандартного отклонения.

Рассмотренная процедура дает возможность для каждого стимула S_i получить его значение на шкале интервалов.