§ 2. Процедура измерения

Эмпирическим материалом, на котором основан закон Терcтоуна, служат суждения по типу: “стимул i более ... тяжелый, интересный, красивый и т.д., чем стимул j”. Прямой метод для получения таких оценок называется методом парных сравнений. В принципе это тот же самый метод константных стимулов, только в данном случае в качестве эталона выступает поочередно каждый стимул. Испытуемый осуществляет попарное сравнение всех стимулов. Каждое сравнение производится много раз. На основании этих сравнений для каждой пары определяется частота предпочтения одного стимула другому. Квадратная матрица (n x n) этих частот (обозначим ее буквой F) представляет исходные данные. Диагональные элементы этой матрицы будут пустыми, поскольку идентичные пары обычно не предъявляются. Очевидно, что сумма элементов f_i,j и f_j,i в сумме будет равна общему числу сравнений.

Последующий анализ заключается в переходе от матрицы частот (F) к матрице вероятностей (обозначим ее буквой P). Элемент этой матрицы p_i,j есть пропорция числа предпочтений i-го стимула j-му в общем числе сравнений этих двух стимулов. Диагональ матрицы P также не заполнена, а сумма симметричных элементов относительно этой диагонали равна единице (т.е. p_i,j + p_j,i = 1). Из матрицы вероятностей уже легко определить матрицу различий Z, памятуя о том, что различие выражается в единицах нормального отклонения. Значение z_i,j для соответствующей вероятности можно определить по таблице областей под единичной нормальной кривой. Для всех p_i,j>0,5 величина z будет положительна, а для всех p_i,j<0,5 — отрицательна. Для p_i,j=1 или p_i,j=0 z_i,j не существует. Предполагая, что p_i,i = p_j,j =0,5, диагональные элементы матрицы Z приравниваются нулю. Поскольку z_i,,j = -z_j,i, то матрица будет косо-симметрична. Таким образом определяется матрица Z, элемент которой z_i,j является оценкой различия (S_i - S_j) между шкальными значениями двух стимулов, измеренной в единицах стандартного отклонения в распределении различительных разностей. Каждый независимый элемент матрицы Z (а их, очевидно, будет n(n-1)/2) дает оценку различия для одного из уравнений (3) — как теоретической модели закона сравнительных оценок.

Рассмотрим теперь, как соотносятся исходные данные с теоретической формой их выражения. Число независимых элементов в матрице F равно n(n-1)/2, где n — число стимулов. Тогда как закон сравнительных оценок, выраженный в формуле (3), имеет для тех же n стимулов и n неизвестных шкальных значений, n неизвестных дисперсий различительных процессов и n(n-1)/2 неизвестных корреляций. Совершенно очевидно, что при таком соотношении числа уравнений — n(n-1)/2 и числа неизвестных — 2n+n(n-1)/2, решить данную систему невозможно. Поэтому необходимо ввести условия, упрощающие структуру выражения (3).

§ 3. Упрощенные варианты закона сравнительных суждений

Терcтоун рассматривал 5 вариантов применения этого закона. Первый вариант — это та исходная общая форма закона, о которой уже говорилось. Второй вариант рассматривает изменение экспериментальной методики, обращаясь от оценок, производимых одним испытуемым, к групповым оценкам. Каждый испытуемый в этом случае производит только одно сравнение. И только третий, четвертый и пятый варианты вводят дополнительные допущения, которые меняют общую форму выражения (3).

Торгерсон (1958) предложил развести эти варианты на два класса. К первому классу относятся изменения в методике проведения эксперимента. Это первый и второй варианты Терcтоуна, и кроме того, Торгерсон предложил отнести сюда и смешанный опыт, когда несколько испытуемых сравнивают по несколько пар и все оценки сводятся в общую матрицу частот. Ко второму классу относятся изменения в форме закона сравнительных оценок. Сюда относятся 3, 4 и 5 варианты Терcтоуна или, соответственно, условия А, В и С, которые предложил Торгерсон.

III вариант Терcтоуна. Предполагается, что корреляция между различительными процессами r_i,j в выражении (3) равна нулю. В таком случае закон сравнительных оценок принимает форму:

S_j - S_i = z_j,i(s²_j + s_i² )^1/2 . (4)

Торгерсон предлагает здесь менее жесткое ограничение, с условием (условие А), что ковариация в выражении (3) — равна постоянной величине (d). Тогда :

S_j - S_i = z_j,i(s_j² + s_i² - d)^1/2. (5)

Но практически выражения (4) и (5) идентичны, поскольку ковариация является постоянной только тогда, когда корреляция стремится к нулю.

IV вариант Терстоуна основывается на допущении, что r_i,j=0 и что дисперсии различения мало отличаются друг от друга, т.е. s_i = s_j + d, где d мало по сравнению с s_j. Тогда выражение (3) преобразуется в

S_j - S_i = z_j,i[s_j² + (s_j + d²)]^1/2. (6)

Раскрывая скобки и делая ряд преобразований и упрощений, получаем окончательную форму четвертого варианта закона:

S_j - S_i = z_j,iс(s_j + s_i ), (7)

где с — постоянный множитель.

Более слабое допущение Торгерсона (условие В) о константности корреляции приводит к выражению:

S_j - S_i = z_j,i[1/2(1 - r)^1/2 (s_j + s_i )]. (8)

Выражения (7) и (8) отличаются только постоянными членами, поэтому вариант Торгерсона имеет определенные преимущества.

V вариант закона сравнительных оценок Терстоуна нашел наибольшее применение вследствие простоты своей формы. Этот вариант основывается на допущении нулевой корреляции между двумя процессами различения (r = 0) и равенства различительных дисперсий этих процессов (s_j = s_i = s). Тогда выражение (4) преобразуется в:

S_j - S_i = z_j,is . (9)

Обозначив константный член уравнения буквой “c”, получим:

S_j - S_i = сz_j,i. (10)

Уравнение (10) совпадает по своей общей форме с различными модификациями данного варианта, которые предлагали впоследствии некоторые авторы. Наиболее интересная модификация предложена Мостеллером (1951) и состоит в допущении равенства дисперсий и константной корреляции. В этом случае величина “с” в уравнении (10) будет равна [2(1 - r)]^1/2, а уравнение приобретает следующий вид:

S_j - S_i = z_j,i[2(1 - r)]^1/2. (11)

Сравнивая упрощенные варианты (4), (7), (10) с исходной формулой (3), легко видеть, что даже наиболее сложный из упрощенных вариантов (4) уже имеет, по крайней мере теоретически, решение, когда число стимулов (n) равно 5. Остальные варианты еще проще. Но практическая процедура всегда более трудоемка и менее изящна, чем это обещает теоретическая модель. Причина этого в основном лежит в эмпирической природе исходных оценок, в их зашумленности множеством случайных факторов, от которых невозможно оградить испытуемого. Для устранения случайных ошибок предлагается следующая тактика. Число стимулов увеличить так, чтобы система уравнений была значительно переопределена. Например, для варианта III брать не 5 стимулов, а 10 – 15. Для окончательного решения использовать итеративную вычислительную процедуру, которая учитывает тот факт, что случайные ошибки имеют тенденцию взаимоуравновешиваться.

Такие процедуры были разработаны разными авторами, и в данной работе будет описан алгоритм Мостеллера (1951) для V варианта закона в модификации Торгерсона (1958). Алгоритм использует решение методом наименьших квадратов. Он позволяет получить более точные оценки шкальных значений из матрицы в случае, если она не имеет пустых элементов.