-
Образец выполнения работы
Задача 1. Из урны, в которой лежат 10 красных, 12 синих и 8 зеленых шаров, наугад вытаскивается 6 шаров. Найти вероятность того, что будут вынуты 3 красных, 2 синих и 1 зеленый шар.
Решение.
Найдем общее число исходов. Вытащить
из урны 6 шаров означает составить группу
из 6 шаров, если всего 10+12+8=30 шаров; при
этом порядок извлечения шаров не
важен. Значит, речь идет о сочетаниях
по 6 элементам из 30. Число таких сочетаний
равно
.
Следовательно,
Найдем число
благоприятствующих исходов. Три красных
шара можно извлечь
способами, два синих шара –
способами, один зеленый шар –
способами. Значит, по комбинаторному
правилу произведения
Находим
вероятность события
Ответ: 0,333.
Задача 2(а). Два стрелка произвели по выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7 , вторым 0,6. Какова вероятность поражения мишени одной пулей?
Решение.
Введем события:
– «мишень поражена одной пулей»,
«первый стрелок попал в мишень»,
«второй стрелок попал в мишень». По
условию
Тогда вероятности противоположных
событий равны
Так как
и события
несовместны (т.е. не могут происходить
одновременно), то по следствию к теореме
1
Но
события
и
независимы, значит,
Следовательно,
Ответ: 0,46.
Задача 2(б). Слово АБРАКАДАБРА разрезается на буквы, которые затем тщательно перемешиваются. Поочередно вытаскиваются 4 карточки и прикладываются одна к другой слева направо. Найти вероятность сложить слово КРАБ.
Решение. Введем вспомогательные события:
-
«первой извлечена буква К»,
-
«второй извлечена буква Р»,
-
«третьей извлечена буква А»,
-
«четвертой извлечена буква Б».
Тогда
искомое событие
.
По следствию к теореме 2
Находим отдельно
каждую вероятность. Поскольку среди 11
карточек буква
встречается 1 раз, то
.
Буква
встречается 2 раза среди оставшихся 10
карточек, поэтому
.
В момент извлечения следующей буквы
осталось 9 карточек, на 5 из них написана
буква
;
поэтому
.
Наконец, в момент извлечения четвертой
буквы остается 8 карточек, на 2 из них
написана буква
;
поэтому
.
Теперь
Ответ: 0,0025.
Задача 3. В магазин поступает продукция с трех предприятий – изготовителей. Их объемы поставок относятся как 6:3:1. Вероятности изготовления некачественной продукции для этих предприятий составляют соответственной 0,01, 0,02 и 0,03. Наугад купленное в магазине изделие оказалось некачественным. Какова вероятность того, что оно изготовлено на первом предприятии?
Решение.
Введем в рассмотрение событие
«купленное изделие оказалось
некачественным». Введем систему гипотез:
-
«изделие изготовлено
на 1-м предприятии»; -
«изделие изготовлено
на 2-м предприятии»; -
«изделие изготовлено
на 3-м предприятии».
Находим
вероятности гипотез:
,
,
.
Согласно условию задачи условные
вероятности события
равны:
,
.Теперь
найденные значения подставим в формулу
Байеса (4), получим
Ответ: 0,014.
Задача 4(а). По мишени производится 5 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Определить вероятность двух попаданий в мишень.
Решение.
Используем формулу Бернулли (5) при
.
Получаем
Ответ: 0,0512.
Задача 4(б). Вероятность обнаружения прибором элементарной частицы составляет 0,0005. Через прибор пропускается поток в 1000 частиц. Какова вероятность того, что прибор зарегистрирует не более двух частиц.
Решение.
Пусть
число
элементарных частиц, зарегистрированных
прибором. Условие: «не более двух частиц»
означает, что или
,
или
,
или
.
и события попарно несовместны, поэтому
искомая вероятность равна
.
Каждую из этих
вероятностей найдем по формуле Пуассона
(6). Согласно условию
.
Находим
.
Следовательно,
Значит,
.
Ответ 0,986
Задача 4(в). Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Решение.
Так как
,
то
.
Число экспериментов
=100
сравнительно велико,
,
поэтому для вычисления искомой
вероятности можно использовать локальную
формулу Муавра – Лапласа (7). Вычисляем
=
.
Тогда
.
Находим по таблице
.
Значит,
.
Ответ: 0,0456.
Задача 4(г). Передается закодированное сообщение из 1100 символов. Вероятность ошибки при декодировании каждого символа составляет 0,01. Считая декодирование каждого символа независимым от других, найти вероятность того, что число ошибок в принятом сообщении не превышает 20.
Решение.
Применим интегральную формулу
Муавра-Лапласа (8), в которой положим
=0,01;
=1-0,01=0,99;
=0;
=20.
Вычисляем
,
. Получим
согласно (8)
.
При этом мы учли нечетность функции
Лапласа. Далее по таблице находим
(2,73)=0,4968
,
(3,33)=0,4995.
Значит,
= 0,4968+0,4995=0,9963. Ответ: 0,9963.
Задача 5. Случайная величина Х, задана рядом распределения распределения
-
X
-2
1
3
4
6
7
p
0,21
0,31
0,20
0,15
0,05
0,08
Найти
.
Решение.
Математическое ожидание
находим по формуле (12).
Для
нахождения дисперсии воспользуемся
формулой (16). Для этого предварительно
найдем
по формуле
.
Получим
Далее
по формуле (16) находим:
Среднее квадратическое отклонение
найдем по формуле
Коэффициент асимметрии
найдем по формуле (17). Для этого
предварительно найдем
по формуле
Получим
Тогда по формуле (17)
Коэффициент эксцесса
найдем по формуле (18). Для этого
предварительно найдем
по формуле
Получим
Тогда по формуле (18)
Ответ:
Задача 6.
Непрерывная
случайная величина задана функцией
распределе-ния:
при
при
при
.
Найти вероятности того, что в результате
испытания
примет значение из интервала
.
Найти
.
Решение.
Сначала найдем плотность распределения
,
для этого продифференцируем функцию
распределения. Получим
при
при
.
Вероятность попадания в интервал находим по формуле (11). Получим
Математическое
ожидание
найдем по формуле (13). Получим
Для
нахождения дисперсии воспользуемся
формулой (16). Для этого предварительно
найдем
.
Получим
Далее
по формуле (16) находим:
Среднее квадратическое отклонение
найдем по формуле
Ответ:
