3. Задание на работу

Задача 1. Решить задачу на классическая вероятность.

Варианты

1. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых, 10 синих шаров. Наудачу вынимается три шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета.

2. В урне находится 12 белых и 18 черных шаров. Извлекается 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них 2 белых и 3 черных шара?

3. В экзаменационный билет включается два теоретических вопроса. Студент из 60 вопросов программы выучил только 40. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса билета.

4. Какова вероятность, что при игре в «дурака» игрок не получит ни одного козыря?

5. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются четыре карты. Найти вероятность того, что извлечены карты разных мастей.

6. Из колоды в 36 карт вытаскиваются 4 карты. Какова вероятность вытащить ровно два «туза»?

7. Из колоды в 36 карт вытаскиваются 4 карты. Какова вероятность того, что все они разных мастей?

8. В коробке 6 красных и 4 синих карандаша. Наугад вытаскиваются три карандаша. Найти вероятность того, два из них красного цвета.

9. В коробке 6 красных и 4 синих карандаша и 10 зеленых карандашей. Наугад вытаскиваются 3 карандаша. Найти вероятность того, что все они разного цвета.

10. Одновременно подбрасывается три кости. Найти вероятнос­ть того, что в сумме выпадет 15 очков.

11. В студенческой группе 10 юношей и 15 девушек. На группу выделили 5 билетов на концерт, эти билеты внутри группы распределяются случайным образом. Какова вероятность, что билеты выиграют 2 юноши и 3 девушки?

12. Студент изучил из 90 вопросов программы только 60. Какова вероятность того, что из трех вопросов экзаменационного билета студент знает два вопроса?

13. Из полного набора костей домино игрок наугад берет 7 костей. Какова вероятность того, что среди них будет ровно два дубля?

14. Для игры в волейбол 6 юношей и 6 девушек случайным образом разбиваются на две команды. Какова вероятность того, что в каждой команде будет поровну юношей и девушек?

15. Поезд метро состоит из 6 вагонов. Какова вероятность того, что три незнакомых друг с другом пассажира сядут в один вагон?

Задача 2. Решить задачу, используя теоремы сложения и умножения.

Варианты

1. Два стрелка, для которых вероятность попадания в цель равны соответственно 0,7 и 0,8, производят по выстрелу. Определить вероятность того, что цель поражена одной пулей.

2. Вероятность того, что наудачу взятое с конвейера изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух наудачу взятых изделий только одно высшего сорта.

3. Студент Иванов выполняет домашнее задание с вероятностью 0,9, студент Петров - с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что при проверке домашнего задания оно оказалось выполненным одним студентом?

4. В гирлянду последовательно включено 5 лампочек. Вероятность перегорания лампочки при повышении напряжения состав­ляет 0,1. Определить вероятность безотказной работы гирлянды при повышении напряжения.

5. На 10 карточках написаны буквы: A, А, А, А, А, Р, Р, Д, Д. Наугад берется 5 карточек и прикладывается одна к другой слева направо. Какова вероятность того, что случайно будет сложе­но слово РАДАР?

6. Слово АККЛИМАТИЗАЦИЯ разрезается на буквы, которые тщательно перемешиваются. Вытаскиваются наугад 5 букв и прикла­дываются одна к другой слева направо. Какова вероятность сложить слово "акция"?

7. На столе 10 экзаменационных билетов, только 7 из них студент может успешно ответить. Какова вероятность успешной сдачи экзамена при условии, что студент может взять второй билет, если он не знает первый?

8. Стрелок стреляет в мишень до полного попадания. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,3 и увеличивается на 0,05 после каждого выстрела. Какова вероятность того, что стрелку придется делать 4 выстрела?

9. Студент будет отчислен, если он трижды не сдаст экзамен. Какова вероятность не быть отчисленным у студента, который может сдать экзамен с вероятностью 0,6?

10. В лотерее выигрывает каждый пятый билет. Какова вероятность того, что хотя бы один из трех купленных билетов выиграет?

11. При диспансеризации населения установлено, что жители региона подвержены заболеванию А с вероятностью 0,001, а заболеванию Б – с вероятностью 0,002. Какова вероятность того, что обследуемый пациент имеет только одно из этих заболеваний?

12. По статистическим данным каждое четвертое предприятие региона укрывает свои доходы от налогообложения. Проведена финансовая проверка двух предприятий. Какова вероятность того, что одно из них укрывает свои доходы от налогообложения?

13. Известно, что в русском языке частота (вероятность) появления буквы А равна 0,1. Зашифровано некоторое слово из 5 букв. Какова вероятность того, что последней буквой в этом слове является буква А?

14. Студент может сдать экзамен с вероятностью 0,6; эта вероятность увеличивается на 0,1 после каждой попытки сдачи. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен только с третьей попытки?

15. Многолетние наблюдения показывают, что вероятность дождя в течение сентябрьского дня равна 0,3. Какова вероятность того, что в течение первых пяти сентябрьских дней не будет дождя?

Задача 3. Решить задачу, используя формулы полной вероятности или Байеса.

Варианты

1. Студент, не пропускавший занятия, может сдать зачет с вероятностью 0,9, пропускавший занятия – с вероятностью 0,6, не ходивший на занятия – с вероятностью 0,1. В студенческой группе из 20 человек 6 студентов не пропускали занятия, 3 человека вообще не ходили на занятия. Какова вероятность того, что студент, сдавший зачет не посещал занятия?

2. На конвейер поступают детали с двух станков с ЧПУ. Производительность первого станка в 2 раза больше производитель­ности второго. Вероятность брака на первом станке 0,01, на втором станке 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна.

3. Батарея из двух орудий произвела залп, причем один снаряд попал в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если вероятности попадания для орудий равны соот­ветственно 0,3 и 0,6.

4. В легкоатлетической команде института 8 первокурсников, 7 второкурс-ников, 5 третьекурсников. Вероятность учиться без троек для студента первого курса равна 0,2, второго – 0,4, третьего – 0,6. Лидер команды учится без троек. Какова вероятность того, что он второкурсник?

5. Вероятность победы в выборах нашего кандидата равна 0,6; но при применении «грязных» выборных технологий она уменьшается до 0,3. Какова вероятность победы нашего кандидата, если вероятность применения «грязных» выборных технологий равна 0,7?

6. На предприятии производится выборочное обследование трех возрастных групп на предмет выявления профессиональных заболеваний. Численности групп относятся как 2:5:3, а вероятности заболевания для групп равны соответственно 0,01, 0,02 и 0,03. Первый обследуемый оказался болен. Какова вероятность того, что он принадлежит к третьей группе?

7. Для участия в олимпиаде выделено 2 студента из первой студенческой группы, 3 студента – из второй, 5 студентов – из третьей. Вероятности того, что участник олимпиады попадет в финал для этих групп соответственно равны 0,5, 0,2 и 0,1. Один из этих студентов попал в финал. Найти вероятность того, что им оказался студент первой группы.

8. Экзамен по математике хорошо подготовленный студент сдает с вероятностью 0,9, слабо подготовленный – с вероятностью 0,4, плохо подготовленный – с вероятностью 0,1. Найти вероятность сдачи экзамена случайно вызванным студентом группы, если в группе 40% студентов хорошо подготовились к экзамену, 50% – слабо, 10% – плохо.

9. По статистическим данным 10% населения региона живет зажиточно, 50% живет обеспеченно, 40% – бедно. Мобильные телефоны имеют 90% живу-щих зажиточно, 60% живущих обеспеченно, 5% – живущих бедно. Первый опрошенный на улице имеет мобильный телефон. Какова вероятность того, что он относится к бедным слоям населения?

10. По статистическим данным высокими потребительскими качествами обладает 90% всех лицензионных и 60% контрафактных изделий. Вероятность покупки лицензионного изделия составляет 0,7. Зная, что купленное изделие не обладает высокими потребительскими качествами, найти вероятность того, что оно лицензионное.

11. Претендент со знанием английского языка может занять вакантную должность с вероятностью 0,4, немецкого – с вероятностью 0,6. В конкурсе на замещение вакантной должности участвуют 10 человек со знанием английского языка и 6 – со знанием немецкого. Какова вероятность того, что победитель конкурса знает английский язык?

12. В первой коробке 12 белых и 8 черных шаров, во второй – 4 белых и 5 черных шаров. Из первой коробки во вторую перекладывается какой-то шар. Затем из второй коробки вынимается шар. Какова вероятность того, что он белый?

13. В коробке 20 теннисных мячей, из них 15 новых. Для первой игры берется какой-то мяч и после игры снова кладется в коробку. Затем для второй игры из этой же коробки берется мяч. Какова вероятность того, что он будет новым?

14. Для участия в конкурсе эрудитов факультет выставил команду из 5 перво-курсников, 3 второкурсников и 2 третьекурсников. Вероятность дать правильный ответ на заданный вопрос для первокурсника составляет 0,3, для второкурсника – 0,4, для третьекурсника – 0,5. Выбранный случайным образом конкурсант дает правильный ответ. Какова вероятность того, что он первокурсник?

15. В сборочный цех поступают детали с двух поточных линий. Производи-тельности этих линий относятся как 7:3. Вероят­ность брака для первой линии составляет 0,01; для второй линии - 0,02. Найти вероятность того, что нау­гад взятая деталь бракована.

Задача 4. Решить задачу, используя схему Бернулли.

Варианты

1. Вратарь парирует в среднем 20% одиннадцатиметровых ударов. Какова вероятность того, что в течение игры он парирует 2 одиннадцатиметровых удара из 5?

2. Магазин получил 1000 стеклянных бутылок минеральной воды. Веро­ятность того, что при перевозке бутылка будет разбита, равна 0,003. Найти вероятность того, что при перевозке будет разбито ровно 2 бутылки.

3. Вероятность рождения мальчика 0,51. Какова вероятность того, что в семье 3 мальчика, если в семье всего 5 детей?

4. Вероятность обнаружить опечатку на странице книги составляет 0,002. Найти вероятность того, что при прочтении книги объемом в 500 страниц будет обнаружено 2 опечатки.

5. Вероятность набора абонентом телефонного номера с ошибкой равна 0,001. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных заказов 2 телефонных номера были набраны с ошибкой.

6. На цель сбрасывается 6 бомб. Вероятность попадания каж­дой бомбы в цель не зависит от результатов предыдущих бомбометаний и составляет 0,3. Найти вероятность поражения цели 4 бомбами.

7. При установившемся технологическом процессе проис­ходит в среднем 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определить вероятность того, что в течение часа на 200 веретенах произойдет 10 обрывов нити.

8. Вероятность пошива костюма 1 сорта равна 0,8. В мага­зин поступило 400 костюмов. Найти вероятности того, что число первосорт­ных костюмов не превысит 310.

9. Лабораторным путем установлена всхожесть зерен в 80%. Чему равна вероятность того, что среди отобранных 1000 зерен про­растет от 820 до 840 зерен.

10. Вероятность удачного эксперимента равна 0,7. Найти вероятность того, что среди 200 проведенных экспериментов число удачных колеблется от 130 до 160.

11. Известно, что в среднем 20% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, не менее 45 носят очки?

12. Школа принимает в первый класс 100 детей. Какова вероятность того, что среди них мальчиков и девочек поровну, если вероятность рождения мальчика равна 0,515?

13. Найти вероятность того, что при 120 подбрасываниях игральной кости количество выпадений 6 очков колеблется в пределах от 20 до 25 раз.

14. Вероятность выиграть этап велосипедной гонки для российского спортсмена составляет 0,3. Какова у него вероятность выиграть 3 этапа гонки из 10?

15. Статистически установлено, что продовольственный магазин ежедневно посещают в среднем каждый третий житель жилого дома. Зная, что в доме проживает 900 человек, найти вероятность того, что количество воскресных посещений магазина колеблется в пределах от 300 до 350 человек.

Задача 5. Случайная величина Х, задана рядом распределения. Найти .

Варианты

Вариант 1.

X	- 5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Вариант 2.

X	- 2	0	1	2
p	0,2	0,5	0,2	0,1

Вариант 3.

X	- 5	-2	1	3
p	0,1	0,4	0,3	0,2

Вариант 4.

X	0	1	3	5
p	0,5	0,1	0,3	0,1

Вариант 5.

X	0	2	3	4
p	0,6	0,2	0,1	0,1

Вариант 6.

X	- 3	-1	0	1
p	0,1	0,3	0,4	0,2

Вариант 7.

X	- 4	-2	1	2
p	0,1	0,2	0,4	0,3

Вариант 8.

X	- 3	-1	2	3
p	0,2	0,6	0,1	0,1

Вариант 9.

X	- 2	-1	1	3
p	0,2	0,3	0,4	0,1

Вариант 10.

X	- 2	0	1	2
p	0,2	0,5	0,2	0,1

Вариант 11.

X	1	2	4	6
p	0,4	0,3	0,2	0,1

Вариант 12.

X	- 4	- 3	- 1	1
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Вариант 13.

X	2	3	5	6
p	0,5	0,2	0,2	0,1

Вариант 14.

X	- 2	1	3	4
p	0,1	0,6	0,2	0,1

Вариант 15.

X	2	4	5	7
p	0,6	0,2	0,1	0,1

Задача 6. Случайная величина задана плотностью распределения или функцией распределения . Найти вероятности того, что в результате испытания примет значение из интервала . Найти .

Варианты

Вариант 1. при при

Вариант 2. при при

Вариант 3. при при

Вариант 4. при при

Вариант 5. при при

Вариант 6. при при

Вариант 7. при при

Вариант 8. при при

Вариант 9. при при

при

Вариант 10. при при

при

Вариант 11. при при

при

Вариант 12. при при

при

Вариант 13. при при

при

Вариант 14. при при

при

Вариант 15. при при

при