-
Контрольные вопросы и упражнения
-
Дайте определение декартова произведения множеств.
-
Зная, что
,
найдите
. -
Дайте определение бинарного отношения.
-
Укажите способы задания бинарного отношения.
-
Чем является бинарное отношение: а) функцией; б) подмножеством; в) графиком; г) парой элементов. Укажите верный ответ.
-
Совпадает ли бинарное отношение между элементами двух множеств с декартовым произведением этих множеств?
-
Даны два множества
.
Постройте бинарные отношения: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
. -
Дайте определение функции, области определения и области значений функции.
-
Дайте определение графика функции.
-
Н
а
рисунках (см рис.3а – рис. 3д) изображены
линии или совокупности линий и точек.
Какие из них являются графиком функции,
какие – нет? Почему? -
Всякая ли функция является бинарным отношением? Всякое ли бинарное отношение является функцией?
-
Будет ли бинарное отношение &=
порождать функцию
?
В случае положительного ответа укажите
и
. -
Будет ли бинарное отношение &=
порождать функцию
?
В случае положительного ответа укажите
и
. -
Постройте график функции
. -
Постройте график функции
на естественной области определе-ния.
Укажите
и
. -
Постройте график функции
Укажите
и
. -
Постройте график функции
Укажите
и
. -
Укажите естественную область определения функции
.
(По определению
.)
Постройте
график функции
и укажите
. -
Постройте график функции
.
(По определению
целая
часть
.) -
Дайте определение производной.
-
Перечислите свойства производной.
-
Выпишите таблицу производных.
-
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Найдите
,
если
. -
Дайте определение первообразной.
-
Выпишите таблицу первообразных.
-
Постройте интегральную сумму.
-
Запишите формулу Ньютона – Лейбница.
-
Найдите
. -
Найдите
. -
Какая фигура называется криволинейной трапецией?
-
Как найти площадь криволинейной трапеции?
-
Как найти площадь плоской фигуры?
-
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
. -
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
-
Задание на работу
Задача 1.
Порождает ли бинарное отношение &
функцию
?
В случае положительного ответа найдите
область определения
и область значений
,
а также постройте график функции.
Варианты
Вариант 1.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 2.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 3.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 4.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 5.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 6.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 7.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 8.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 9.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 10.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 11.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 12.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 13.
а)
&=
;
б)
&=
;
в)
&=
.
Вариант 14.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Вариант 15.
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
Задача 2.
Постройте график функции
на естественной области определения.
Варианты
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Задача 3.
Зная
и
,
найдите
.
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Задача 4.
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
.
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
-
Образец выполнения работы
Задача 1.
Порождает ли бинарное отношение &
функцию
?
а)
&=
;
б) &=
;
в)
&=
.
В
случае положительного ответа найдите
область определения
и область значений
,
а также постройте график функции.
Решение.
a)
Бинарное отношение &=
не порождает функцию, потому что первые
компоненты упорядоченных пар
равны между собой, что запрещено по
определению функции.
б) Бинарное отношение
&=
не
порождает функцию, потому что первые
компоненты упорядоченных пар
равны между собой, что запрещено по
определению функции.
в
)
Бинарное отношение &
порождает некоторую функцию
,
потому что все первые компоненты
упорядоченных пар различны между собой.
Находим область определения
и область значений
.
Строим график функции (см. рис. 4).
З
адача
2. Постройте
график функции
на естественной области определения.
Решение.
Обычно при задании функции формулой
должна указываться область определения
функции. Если же область определения
не указана (как в нашем примере), считается,
что функция задана на естественной
области определения, т. е. на том множестве
аргументов, где формула имеет смысл. В
нашем примере областью определения
функции является интервал
,
потому что логарифм определяется только
для положительных значений аргумента.
Итак,
.
Для построения графика функции строим
таблицу значений функции.
|
x |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
4,5 |
5 |
|
y |
-8,4 |
0 |
1,9 |
1,9 |
1,5 |
1,1 |
0,8 |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
Точки с найденными координатами наносим на координатную плоскость и соединяем линией. График функции изображен на рис. 5.
Задача
3. Найдите
,
если
Решение. Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Находим
Ответ: 1.
Задача 4.
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
.
Р
ешение.
Строим фигуру
(см. рис. 6). Находим точки пересечения
линий
и
.
Приравнивая правые части
уравнений,
получаем
Значит,
Из
рис. 4 видим, что
нижняя граница фигуры,
верхняя
граница. Находим площадь фигуры по
формуле (3).
Ответ:
.