Ііі. Завдання

За даними табл. 2.1 з ймовірністю 0,95 необхідно:

Таблиця 2.1

Статистичні дані

№ спостереження	Доходи підприємства, млн. грн. (у)	Витрати на оплату праці, млн. грн. (х)
	10,89	2,17+0,01·р
	11,92	2,90
	12,45+0,01·р	3,29
	11,27	4,13
	14,12	5,25+0,01·р
	15,23	4,92
	16,07+0,01·р	5,79
	17,40	5,87
	18,61	6,99+0,01·р
	18,94	6,24
	17,55	6,87
	19,44+0,01·р	7,11
	20,14	7,52+0,01·р
	21,69	7,24
	20,78+0,01·р	7,86
	-	8,12+0,01·р

1. побудувати однофакторну модель виду ;

2. перевірити істотність зв'язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації;

3. оцінити надійність моделі за допомогою критерію Фішера;

4. знайти прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу;

5. визначити коефіцієнт еластичності в точці прогнозу;

6. навести графічну інтерпретацію моделі.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №3

ВИРОБНИЧА РЕГРЕСІЯ

І. Загальні положення

Явище, яке залежить від багатьох факторів, можна описати за допомогою множинної регресії. Дослідивши взаємозв'язок процесів у минулому і отримавши функціональний зв'язок між ними, можна з деякою вірогідністю планувати майбутнє.

ІІ. Теоретичні відомості

У загальному вигляді виробнича регресія може бути записана:

(3.1)

У сфері виробництва при аналізі кількісного співвідношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати обсяг виробленої продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції тощо. Факторами цих показників можуть бути робоча сила, основні засоби або капітал, земля, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки тощо.

У більш вузькому смислі під виробничою регресією розуміють залежність між обсягом виробництва і величиною різних виробничих ресурсів. Обсяг виробленої продукції залежить від двох факторів: чисельності робочої сили та основних засобів (капіталу) даної галузі :

(3.2)

Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована. Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези:

1) якщо збільшується один з факторів або при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується. Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів , математично виражається як частинна похідна по цьому фактору:

; (3.3)

2) приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів (приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю);

3) Виробнича функція є однорідною функцією відносно факторів , з показником однорідності а. Це означає, що при односторонньому збільшенні значень факторів у разів (), обсяг виробленої продукції збільшиться у разів:

(3.4)

Згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність:

; (3.5)

4) на лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа

, (3.6)

де y – обсяг випуску продукції; - чисельність робочої сили; - основний капітал.

Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

. (3.7)

Заміна . Отримаємо

. (3.8)

Використовуючи метод найменших квадратів, отримаємо систему нормальних рівнянь

, (3.9)

розв'язки якої можна знайти за формулою

, (3.10)

де - вектор параметрів моделі;

- матриця статистичних даних факторної ознаки;

- вектор статистичних даних результуючої ознаки.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів і виконується

. (3.11)

Адекватність моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою критерію Фішера

(3.12)

де k₁, k₂ – ступені вільності,

Якщо математична модель адекватна експериментальним даним, то її можна застосовувати для аналізу господарської діяльності підприємства.

Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів.

Частинний коефіцієнт еластичності для фактора обчислюється за формулою

(3.13)

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа отримаємо

. (3.14)

Тобто, параметр є частинним коефіцієнтом еластичності y при зміні фактора виробничої регресії і показує, що показник у змінюється на відсотків, якщо фактор змінюється на 1% при незмінних значеннях фактора . Оскільки коефіцієнт еластичності додатній, то збільшення фактора викликає збільшення показника. Аналогічно отримаємо для .

Важливе значення також має сумарний коефіцієнт еластичності. Припустимо, що у деякий момент часу фактори і показник мали значення . Після збільшення факторів у разів отримаємо

. (3.15)

У даному випадку показник однорідності . Цей показник називають загальним (сумарним) коефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул можна зробити висновки:

1) якщо а=1, то при збільшенні факторів в разів обсяг виробництва зміниться в стільки ж разів;

2) якщо а>1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу в разів. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва;

3) якщо а<1, то збільшення факторів в разів викличе збільшення обсягу виробництва в разів. В цьому випадку зростають витрати на одиницю продукції.

Геометрично виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тривимірному просторі з координатами . Для виробничої регресії геометричне місце точок (різні комбінації факторів), для яких показник обсягу виробництва продукції залишається сталим, називається ізоквантою. Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів через інший фактор і стале значення показника регресії ():

. (3.16)

Позначимо сталу , то отримаємо

. (3.17)

Графічно

Рис. 3.1. Ізокванти виробничої функції

Точкову оцінку прогнозу знайдемо за формулою

. (3.18)

Інтервал довіри знаходять спочатку для лінійної регресії, а потім шляхом потенціювання – для нелінійної регресії

, (3.19)

, (3.20)

, (3.21)

де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;

- середньоквадратичне відхилення залишків;

- вектор прогнозних значень.