§ 5. Линейные системы

Давайте теперь подытожим рассмотренные выше идеи, которые все являются аспектами, по-видимому, наиболее об­щего и удивительного принципа математической физики. Если у нас есть линейная система, характеристики которой не за­висят от времени, то движение ее, вообще говоря, не обязано быть каким-то особенно простым. На самом деле оно может быть чрезвычайно сложным, однако существуют такие особые дви­жения (обычно их целый ряд), при которых форма колебания синусоидально зависит от времени. Для колеблющихся систем, о которых сейчас шла речь, мы обычно получали мнимую эк­споненту, но вместо того, чтобы сказать «экспоненциально», я предпочел сказать «синусоидально». Однако если стремиться к большей общности, то нужно говорить о каких-то особых движениях, очень специальной формы, изменяющихся экспо­ненциально со временем. Наиболее общее движение систем всегда можно представить в виде суперпозиции движений, включающих каждую из различных экспонент.

Есть смысл подчеркнуть еще раз специально для случая синусоидального движения: линейная система не обязательно должна двигаться чисто синусоидально, т. е. с одной опреде­ленной частотой, но как бы она ни двигалась, это движение можно представить в виде суперпозиции чисто синусоидаль­ных колебаний. Частота каждого из этих колебаний, как и форма волны, зависит от свойств системы. Общее движение любой такой системы характеризуется заданием амплитуды и фазы каждой из гармоник при их сложении. Можно сказать это и по-другому: колебание любой линейной системы эквива­лентно набору гармонических независимых осцилляторов, ча­стоты которых соответствуют частотам собственных гармоник данной системы.

Эту главу мы закончим замечанием о связи гармоник с квантовой механикой. Колеблющимися объектами и величи­нами, которые изменяются со временем в квантовой механике, являются амплитуды вероятности, которые определяют ве­роятности обнаружения электрона или системы электронов в данном месте. Эта амплитуда может изменяться в пространстве и времени и удовлетворяет линейному уравнению. Но при пе­реходе к квантовой механике происходит переименование. То, что мы называли частотой амплитуды вероятности, переходит в энергию в ее классическом смысле. Поэтому установленный выше принцип можно перевести на язык квантовой механики, заменив слово частота словом энергия. Получится примерно так: квантовомеханическая система, например атом, не обя­зательно обладает определенной энергией, точно так же, как простая механическая система не обязательно имеет определенную частоту, но каково бы ни было поведение системы, его всегда можно представить в виде суперпозиции состояний с определенной энергией. Энергия каждого состояния, как и форма амплитуды, которая дает вероятность нахождения ча­стицы в различных местах, определяется свойствами атома. Общее движение может быть описано заданием амплитуд каж­дого из различных энергетических состояний. Именно здесь кроется причина возникновения энергетических уровней в квантовой механике. Поскольку квантовая механика все описывает в виде волн, то при некоторых обстоятельствах, когда электрон не обладает достаточной энергией, чтобы бесповоротно оторваться от протона, он представляет собой просто волну в ограниченном пространстве. Поэтому, так же как и для огра­ниченной струны, при решении волнового уравнения в кванто­вой механике в подобном случае возникают определенные ди­скретные частоты. В квантовомеханической интерпретации это будут определенные энергии. Следовательно, квантовомеханическая система, вследствие того что она описывается с по­мощью волн, может иметь определенные состояния с фиксиро­ванной энергией; примером могут служить дискретные энерге­тические уровни атомов.