§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя д/дх, получаем производную функции dldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию  по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или д/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида  (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распростра­нялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д²/dt² не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производ­ную входит только v². Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c_s.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем ₁ . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной ₁ по t₁, умноженной на 1/с^2s. И пусть есть второе решение ₂, обладаю­щее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда полу­чается

 (x, t)= ₁(x, t) + ₂(x, t). (47.17)

Теперь мы хотим удостовериться, что  (х, t) тоже представ­ляет некую волну, т. е.  тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

и вдобавок

Отсюда следует, что d²/dx²=(l/c²_s)д²/dt², так что справедли­вость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по .

Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлет­воряет волновому уравнению

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения элект­родинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому урав­нению для звука.

§ 5. Скорость звука

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с²_s=(dP/d)₀. (47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло пере­дается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меня­ются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны ве­лика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что погло­щение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.

Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому изменению давления, для ко­торого мы нашли, что PV^=const, где V — объем. Поскольку плотность  обратно пропорциональна объему, связь P и  для адиабатических процессов дается соотношением

P=const•^, (47.22)

откуда мы получаем dP/d=P/. Тогда для скорости звука возникает соотношение

c²_s =P/. (47.23)

Можно еще написать с²_s= PV/V и использовать соотноше­ние PV=NkT. Мы видим, кроме того, что V есть масса газа, которую можно записать как Nm или , где m — масса молекулы, а  — молекулярный вес. Таким образом, находим

откуда видно, что скорость звука зависит только от темпе­ратуры газа и не зависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что

kT=¹/₃m<v²>, (47.25)

где <v²> — средняя квадратичная скорость молекул. Отсюда следует, что с²_s=/3 <v²>, или

Это равенство означает, что скорость звука есть средняя ско­рость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умноженная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3)^1/2. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.

В общем-то мы могли этого ожидать, потому что такое воз­мущение, как изменение плотности, передается в конечном счете движением молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самыми быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости.

* При таком выборе P_отн Р — уже не максимальная амплитуда зву­кового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максималь­ному, деленному на 1/2.