Глава 49

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Отражение волн

§ 2. Волны в огра­ниченном пространстве и собственные частоты

§ 3. Двумерные собственные колебания

§ 4. Связанные маятники

§ 5. Линейные системы

§ 1. Отражение волн

В этой главе мы рассмотрим ряд замеча­тельных явлений, возникающих в результате «заключения» волны в некоторую ограничен­ную область. Сначала нам придется устано­вить несколько частных фактов, относящихся, например, к колебанию струны, а затем, обоб­щив эти факты, мы придем, по-видимому, к наиболее далеко идущему принципу математи­ческой физики.

Первый пример волн в ограниченном про­странстве — это волны в пространстве, огра­ниченном с одной стороны. Давайте возьмем простой случай одномерной волны на струне. Можно было бы рассмотреть плоскую звуко­вую волну в пространстве, ограниченном с одной стороны стенкой, или какие-то другие примеры той же природы, но для наших тепе­решних целей вполне достаточно простой струны. Предположим, что один конец струны закреплен, ну, например, вмурован в «абсо­лютно жесткую» стенку. Математически это можно описать, указав, что перемещение струны у в точке x=0 должно быть нулем, ибо конец струны не может двигаться. Далее, если бы в этом деле не участвовала стенка, то, как мы знаем, общее решение, описывающее движение струны, можно было бы представить в виде суммы двух функций F(x-ct) и G(x+ct), причем первая описывает волну, бегущую по струне в одну сторону, а вторая — в другую, так что

y=F(x-ct)+G(x+ct) (49.1)

будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим х=0 и посмотрим, какие будут у в любой момент t, то получим y=F(-ct)+G(+ct). Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а это означает, что функция G(+ct) должна быть равна -F(-ct). Другими словами, функция G от некоторой величины должна быть равна функ­ции -F от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим ре­шение поставленной задачи:

y=F(x-ct)-F(-x-ct). (49.2)

Ясно, что это выражение всегда даст y=0, если х поло­жить равным нулю.

На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном x-направлении вблизи точки х=0, и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат.

Фиг. 49.1. Отражение от стенки как суперпозиция двух бегущих волн.

Я сказал «гипотетиче­ская», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеб­лющейся струны нет. Истинное же движение струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положи­тельных х. Достигнув начала координат, они в точке х=0 полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, идущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных х. Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув защемленного конца струны, отражается от него с изменением знака. Такое отражение всегда можно понять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногами». Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы ни находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки х=0 другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке х=0 никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте или нет.

Следующий наш пример — отражение периодической вол­ны. Предположим, что волна, описываемая функцией F(x-ct), представляет собой синусоидальную волну, которая затем от­ражается. Тогда отраженная волна -F(-х-ct) тоже будет синусоидальной волной той же частоты, но пойдет она в про­тивоположном направлении. Эту ситуацию проще всего опи­сать с помощью комплексных функций

F(x-ct)=e^i(t-x/c) и F(-х-ct)=e^ia(t+x/c).

Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и положить х=0, то в любой момент времени t переме­щение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде:

y=e^it(e^-ix/c-e^ix/c)=-2ie^itsin(x/c). (49.3)

Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любую точку х нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой . Совершенно неважно, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где sin (x/c)=0), которые вообще не перемещаются. Более того, если в любой момент времени t сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет зависеть от времени t. Из выражения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла сину­соидальной волны равна длине какой-либо из волн;

=2c/. (49.4)

Неподвижные точки удовлетворяют условию sin(x/c)=0, которое означает, что x/c=0, , 2, ..., n, ... . Эти точки на­зываются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз, но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная харак­теристика того, что называется собственным колебанием, гармоникой или модой. Если движение обладает тем свой­ством, что каждая точка предмета движется строго синусои­дально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, больше, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием.