§ 2. Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е_а во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель пре­ломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е_а , создаваемого зарядами пластин­ки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которы­ми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 ● обозначения которыми мы пользуемся

ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ _______

E_s поле, создаваемое источником

Е_а поле, создаваемое зарядами пластинки

z толщина пластинки

z расстояние по нормали к пластинке

n показатель преломления

 частота (угловая) излучения

N число зарядов в единице объема пластинки

 число зарядов на единицу площади пластинки

q_е заряд электрона

m масса электрона

₀ резонансная частота электрона, связанного в атоме

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E_s имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

(31.9)

На самой пластинке в точке z=0 мы имеем

(31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут коле­баться вверх и вниз (если e0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соеди­нены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормаль­ного положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой ₀. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они под­чиняются:

(31.11)

(здесь F — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

(31.12)

где q_e — заряд электрона, а в качестве E_S мы взяли значение Е_S = Е₀е^it из уравнения (31.10). Уравнение движения элект­рона приобретает вид

(31.13)

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

(31.15)

откуда

(31.16)

Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле Е_а , создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Е_а в точке Р есть скорость заряда, за­паздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отри­цательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х₀ из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

(31.17)

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[i(t-z/c)]); амплитуда волны про­порциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель ), а также амплитуде поля источника (Е₀). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств ато­мов (q_e , m , ₀).

Самый важный момент, однако, заключается в том, что фор­мула (31.17) для Е_a очень похожа на выражение Е_а в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить

(31.18)

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны z, поскольку  — число атомов на единицу площади — равно Nz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Под­ставляя Nz вместо и сокращая на z, получаем наш основ­ной результат — формулу для показателя преломления, выра­женную через константы, зависящие от свойств атомов, и часто­ту света:

(31.19)

Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.