46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.
Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).
Решение: Здесь z'x=2ху+у^2+у, z'y=х^2+2ху+х.
Находим все критические точки:
Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212).
На участке АВ:
Значения функции z(-1) = -1,
На участке ВС:
Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
z'y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2.
Значения функции
На участке АЕ:
Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.
Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E)