44.7. Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

44.8. Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х^2+у^2+z^2-4=0 определяет функцииопределенные в круге х^2+у^2≤4,определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением e^z+z-х^2у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=e^z+z-х^2у+1, F'x=-2ху, F'y = -х^2, F'z=e^z+1. По формулам (44.12) имеем:

§ 46. Экстремум функции двух переменных

46.1. Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.

Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).

Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).

На рисунке 210: N1 — точка максимума, а N2 — точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.