1.7. Понятие мощности

Пусть f: X  Y и g: Y  Z – отображения множеств. Поскольку f и g – отношения, то определена их композиция g  f(x) = g(f(x)). Если h: Z  T – отображение множеств, то h  (g  f) = (h  g)  f. Отношения Id_X и Id_Y – функции, стало быть, определены композиции Id_Y  f = f  Id_x = f. При X = Y определим f² = f  f, f³ = f²  f, …, fⁿ⁺¹ = fⁿ  f.

Отображение f: X Y называется инъекцей, если для любых элементов x₁  x₂ множества X справедливо f(x₁)  f(x₂). Отображение f называется сюръекцией, если для каждого y Y существует такой x  X, что f(x) = y. Если f является и сюръекцией, и инъекцией, то f называется биекцией. Легко видеть, что f – биекция тогда и только тогда, когда обратное отношение f^-1  Y  X является функцией.

Будем говорить, что справедливо равенство |X| = |Y|, если существует биекция между X и Y. Положим |X|  |Y|, если существует инъекция f: X  Y.

Теорема Кантора-Шредера-Бернштейна. Если |X|  |Y| и |Y|  |X| , то |X| = |Y|.

Доказательство. По условию, существуют инъекции f: X  Y и g: Y  X. Пусть A = gY = Img – образ множества Y относительно отображения g. Тогда

(X \ A)  (gf)(X \ A) = ,

(gf)(X \ A)  (gf)²(X \ A) = , …,

(gf)ⁿ(X \ A)  (gf)ⁿ⁺¹(X \ A) = , …

Рассмотрим отображение : X  A, заданное как (x) = gf(x), при

x  (X \ A)  (gf)(X \ A)  (gf)²(X \ A)  …, и (x) = x в остальных случаях. Легко видеть, что  – биекция. Искомая биекция между X и Y будет равна g^-1  .

1.8. Антиномия Кантора

Положим |X| < |Y|, если |X|  |Y| и не существует биекции между X и Y.

Теорема Кантора. Для любого множества X справедливо |X| < |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Доказательство. Ясно, что |X|  |P(X)|. Предположим, что существует биекция f: X  P(X). Рассмотрим подмножество:

A = {x  X : x  f(x)}.

Если существует y  X, для которого f(y) = A, то из y  A будет следовать: y  f(y) = A; а из y  A = f(y) следует: y  A. Отсюда нет элементов y  X, таких, что f(y) = A, и, стало быть, f – не биекция. Теорема доказана. Эта теорема показывает, что необходимость уточнения понятия множества была известна Георгу Кантору:

Антиномия Кантора. Предположим, что все множества составляют некоторое множество U. Тогда каждое подмножество A  U принадлежит U. Стало быть, P(U)  U и имеет место |P(U)|  |U|, что противоречит теореме Кантора. Следовательно, собрание всех множеств не является множеством.

1.9. Аксиома выбора и сравнения мощностей

Следующее утверждение справедливо в предположении аксиомы выбора и вместе с теоремой Кантора-Шредера-Бернштейна (разд. 1.7) позволяет установить, что для любых множеств X и Y имеет место одно из соотношений:

|X| < |Y|, |X| = |Y|, |X| > |Y|.

Теорема. Пусть X и Y – множества. Тогда |X|  |Y| или |Y|  |X|.

Доказательство. Пусть T – множество пар (A. f), состоящее из подмножеств A  X и инъекций f : A  Y. Определим на T отношение порядка, полагая для (A₁, f₁) и (A₂. f₂) из T выполненным отношение (A₁, f₁)  (A₂. f₂), если A₁ < A₂ и . Для произвольной цепи C  T существует пара (B, g), состоящая из и отображения g : B  Y, заданного как g(x) = f(x), если (A, f) – такая пара из T, что x  A. Эта пара (B, g) будет ограничивать сверху цепь С. Значит, любая цепь С ограничена сверху в Т, и в Т существует, по крайней мере, один элемент, который мы обозначим через (A, f). Если A  X и Imf  Y, то инъекцию f можно доопределить на некотором x  X \ A и получить таким образом элемент из T, больший чем (A, f). Это противоречие показывает, что либо A  X и Imf = Y, либо A = X. В первом случае f осуществляет биекцию некоторого подмножества из X с множеством Y, и, значит, имеет место |Y|  |X|. Во втором случае |X|  |Y|. Теорема доказана.

Замечание. В действительности эта теорема равносильна аксиоме выбора и, стало быть, может быть принята в качестве аксиомы.