3
Введение
Математическая логика – это наука о возможностях и методах математических рассуждений. Она восходит к фундаментальной работе Аристотеля, ученика Платона, написанной в IV веке до н.э. Основное положение Аристотеля заключается в том, что всякое правильное рассуждение можно свести к дедуктивному применению правил, не зависящих от природы объектов. Особое внимание он уделил «силлогизму», состоящему из соотношений вида A B и A & B, и способа соединения этих соотношений и их отрицаний:
.
Несмотря на то, что Аристотелю принадлежит заслуга выделения кванторов и идея модальной оценки высказываний, развитая им система описывалась громоздко и в словесной форме. Она превратилась в математическую логику лишь в XIX веке, когда Лейбниц высказал идею описания логики в символах. Создателем современной символьной логики считается Дж. Буль.
С работ Г. Фрёге (1848 – 1925 гг.) началось применение логики для исследований оснований математики. Значительный вклад в развитие математической логики внесли Б. Рассел (1872 – 1970 гг.), А.Н. Уайтхед (1861 – 1947 гг.), Д. Гильберт (1862 – 1943 гг.), К. Гёдель (1906 – 1978 гг.), А. Тарский (1901 – 1983 гг.), А. Чёрч (р. 1903 г.), А.И. Мальцев (1909 – 1967 гг.).
При решении математических проблем было обнаружено, что некоторые из них неразрешимы, как, например, проблема равенства слов в полугруппах. Обнаружилось, что если достаточно богатая теория непротиворечива, то существует неразрешимое в этой теории предложение (К. Гёдель). Эти глубокие результаты были получены на основе теории алгоритмов, машин Тьюринга и рекурсивных функций.
Дальнейшее развитие математической логики и теории алгоритмов тесно связано с вычислительными машинами. В задачах управления непрерывными процессами и построения экспертных систем была применена нечёткая логика. Для создания систем управления базами данных большое значение имеет темпоральная логика. В параллельном программировании применяется алгоритмическая логика.
Цель данного учебного пособия – дать введение в математическую логику и теорию алгоритмов. Для понимания не требуется математических знаний. Учебное пособие, помимо стандартного материала, включает главу, посвящённую нечёткой пропозициональной логике и главу о модальной и темпоральной логике.
Приводятся обязательные задания для контроля знаний студентов. Авторы надеются, что студенты не только сделают эти задания, но и смогут применить полученные знания при программировании прикладных задач.
В рамках дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» выполняется два расчетно-графических задания. Номер варианта определяется двумя последними цифрами номера зачётной книжки следующим образом:
если 2 последние цифры номера зачётной книжки находятся в диапазоне 00 – 29, то им соответствуют номера вариантов с 01 по 30, например, числу 23 соответствует вариант 24;
в других случаях к остатку от деления числа, состоящего из двух последних цифр номера зачётной книжки, на 30 прибавляется 1. Если последние цифры зачётной книжки, например, 56, то номер варианта – 27.
Отчёт по каждому расчётно-графическому заданию сдаётся в письменном виде. После изучения курса сдаётся письменный экзамен. Экзаменационный билет составляется из экзаменационных вопросов и задач, приведённых в пособии.