1.5. Отношение порядка

Бинарное отношение R на множестве X называется антисимметричным, если из x R y и y R x следует: x = y. Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Легко видеть, что это равносильно выполнению следующих условий:

1) Id_X  R (рефлексивность),

2) R  R^-1 (антисимметричность),

3) R  R  R (транзитивность).

Упорядоченная пара (X, R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X, называется частично упорядоченным множеством.

Пример 1

Пусть X = {0, 1, 2, 3}, R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 3)}.

Поскольку R удовлетворяет условиям 1 – 3, то (X, R) – частично упорядоченное множество. Для элементов x = 2, y = 3, неверно ни x R y, ни y R x. Такие элементы называют несравнимыми. Обычно отношение порядка обозначают . В приведенном примере 0  1 и 2  2, но неверно, что 2  3.

Пример 2

Пусть < – бинарное отношение строгого неравенства на множестве  натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка  на  и превращает  в частично упорядоченное множество.

Элементы x, y  X частично упорядоченного множества (X, ) называются сравнимыми, если x  y либо y  x.

Частично упорядоченное множество (X, ) называется линейно упорядоченным или цепью, если любые два его элемента сравнимы. Множество из примера 2 будет линейно упорядоченным, а из примера 1 – нет.

Подмножество A  X частично упорядоченного множества (X, ) называется ограниченным сверху, если существует такой элемент x  X, что a  x для всех a  A. Элемент x  X называется наибольшим в X, если y  x для всех y  X. Элемент x  X называется максимальным, если нет отличных от x элементов y  X, для которых x  y. В примере 1 элементы 2 и 3 будут максимальными, но не наибольшими. Аналогично определяются ограничение снизу подмножества, наименьший и минимальный элементы. В примере 1 элемент 0 будет и наименьшим и минимальным. В примере 2 этими свойствами также обладает 0, но в (, ) нет ни наибольшего, ни максимального элемента.

Пусть (X, ) – частично упорядоченное множество, A  X – подмножество. Отношение на А, состоящее из пар (a, b) элементов a, b  A, для которых a  b, будет отношением порядка на А. Это отношение обозначают тем же символом: . Таким образом, (A, ) – частично упорядоченное множество. Если оно является линейно упорядоченным, то будем говорить, что А – цепь в (X, ).

1.6. Принцип максимальности

Некоторые математические утверждения невозможно доказать без аксиомы выбора. Про эти утверждения говорят, что они зависят от аксиомы выбора или справедливы в теории ZFC, на практике вместо аксиомы выбора для доказательства используют обычно либо аксиому Цермело, либо лемму Куратовского-Цорна, либо любое другое утверждение, равносильное аксиоме выбора.

Лемма Куратовского-Цорна. Если каждая цепь в частично упорядоченном множестве (X, ) ограничена сверху, то в X есть по крайней мере один максимальный элемент.

Эта лемма равносильна аксиоме выбора, и поэтому её можно принять в качестве аксиомы.

Теорема. Для любого частично упорядоченного множества (X, ) существует отношение, содержащее отношение  и превращающее X в линейно упорядоченное множество.

Доказательство. Множество всех отношений порядка, содержащих отношение , упорядочено отношением включения . Поскольку объединение цепи отношений порядка будет отношением порядка, то по лемме Куратовского-Цорна существует максимальное отношение R, такое, что x  y влечет x R y. Докажем, что R – отношение, линейно упорядочивающее X. Предположим противное: пусть существуют a, b  X такие, что ни (a, b), ни (b, a) не принадлежат R. Рассмотрим отношение:

R = R  {(x, y): x R a и b R y}.

Оно получается добавлением пары (a, b) к R и пар (x, y), которые должны быть добавлены к R из условия, что R – отношение порядка. Легко видеть, что R рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Получаем R  R, противоречащее максимальности R, следовательно, R – искомое отношение линейного порядка.

Линейно упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если всякое его непустое подмножество A  X содержит наименьший элемент a  A. Лемма Куратовского-Цорна и аксиома выбора эквивалентны также следующему утверждению:

Аксиома Цермело. Для каждого множества существует отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Например, множество  натуральных чисел является вполне упорядоченным. Принцип индуктивности обобщается следующим образом:

Трансфинитная индукция. Если (X, ) – вполне упорядоченное множество и (x) – свойство его элементов, верное для наименьшего элемента x₀  X и такое, что из истинности (y) для всех y < z следует истинность (z), то (x) верно для всех x  X.

Здесь y < z означает, что у  z, но y  z. Действительно, в противном случае среди x  X, не обладающих свойством (x), можно выбрать наименьший элемент x₁, и выполнение (y) для всех y < x₁ приводит к выполнению (x₁), противоречащему предположению.