1.3. Операции над отношениями

Напомним, что отношением между множествами A и B называется произвольное подмножество R  A  B. Поскольку отношения являются подмножествами множества A  B, то для них определены операции объединения, пересечения и дополнения . Вместо (x, y)  R обычно пишут x R y и говорят, что x находится в отношении R с y. Бинарным отношением на A называется подмножество R  A  A.

Например, отношение равенства =, на множестве  натуральных чисел можно понимать как множество пар {(0, 0), (1, 1), (2, 2), …}.

Дополнением этого отношения будет отношение . Отношение < будет множеством пар (x, y), для которых x < y. Объединением отношений < и = будет равно отношению , а пересечение будет пустым отношением.

Большое значение имеют также операции обращения и композиции отношений.

Для произвольного отношения R  A  B обратным называется отношение , состоящее из пар (b, a), для которых (a, b)  R. Например, для отношения < на , обратное отношение <^-1 состоит из пар (y, x) таких, что x < y. Следовательно, .

Пусть заданы отношения R  A  B и S  B  C. Композицией называется отношение:

S  R = {(a, c)  A  C: существует b  B такой, что (a, b)  R и (b, c)  S}

Имеют место соотношения:

(T  S)  R = T  (S  R),

R  Id_A = Id_B  R = R,

для любых отношений R  A  B, S  B  C, T  C  D, и отношений равенств Id_A = {(a, a): a  A} на A, Id_B = {(b, b): b  B} на B.

1.4. Отношение эквивалентности и фактор-множество

Пусть R – бинарное отношение на множестве X. Отношение R называется рефлексивным, если (x, x)  R для всех x  X; симметричным – если из (x, y)  R следует (y, x)  R; транзитивным числу 23 соответствует вариант 24 если (x, y)  R и (y, z)  R влекут (x, z)  R.

Пример 1

Будем говорить, что x  X имеет общее с элементом y  X, если множество x  y не пусто. Отношение иметь общее будет рефлексивным и симметричным, но не транзитивным.

Отношением эквивалентности на X называется рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение. Легко видеть, что R  X  X будет отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда имеют место включения:

Id_X  R (рефлексивность),

R^-1  R (симметричность),

R  R  R (транзитивность).

В действительности эти три условия равносильны следующим:

Id_X  R, R^-1 = R, R  R = R.

Разбиением множества X называется множество А попарно непересекающихся подмножеств a  X таких, что UA = X. С каждым разбиением А можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого a  A.

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение А, элементами которого являются подмножества, каждое из которых состоит из находящихся в отношении ~. Эти подмножества называются классами эквивалентности. Это разбиение А называется фактор-множеством множества X по отношению ~ и обозначается: X/~.

Пример 2

Определим отношение ~ на множестве  натуральных чисел, полагая x ~ y, если остатки от деления x и y на 3 равны между собой. Тогда /~ состоит из трёх классов эквивалентности, соответствующих остаткам 0, 1 и 2.