3.5. Теорема компактности для исчисления высказываний

Рассмотрим исчисление высказываний L с произвольным множеством нелогических символов P. Множество всех формул обозначается через S. Логические символы дополняются связками , . Как было доказано в разд. 3.4, эти логические символы можно определить с помощью системы аксиом Клини.

Пусть   S – произвольное подмножество пропозициональных формул. Множество  называется выполнимым, если существует такая интерпретация e: S I, что e() = 1 для всех   . Множество  называется конечно выполнимым, если каждое его конечное подмножество выполнимо. Множество  называется полным, если для каждой формулы  оно содержит либо , либо . При этом  и  не могут принадлежать  одновременно.

Лемма. Если  – конечно выполнимо, то для любой формулы   S, либо {}, либо {} конечно выполнимо.

Доказательство. Предположим, что   {} не является конечно выполнимым. Тогда существуют формулы A₁, A₂, …, A_m  , для которых множество {A₁, A₂, …, A_m, } не выполнимо. Для любой интерпретации e: S I, удовлетворяющей e(A_i) = 1 для всех 1  i  m, значение e() будет равно 0. Значит, будет иметь место e(A₁& A₂&…& &A_m&) = 0, откуда формула (A₁& A₁&…&A_m&), а вместе с ней и A₁& &A₂&…&A_m, будут тавтологиями. По теореме о полноте формула A₁& &…&A_m станет выводимой. Для любой другой последовательности B₁,…,B_n   невыполнимость множества {B1,…,Bn, } приводит аналогичным образом к выводимости:

_L B₁ & B₂ &…& B_n,  .

Применяя теорему о дедукции, мы получили бы в этом случае B₁&B₂&…&B_nL и из A₁ & A₂ &…& A_{n L}  выводимость:

A₁, …, A_m, B₁, …, B_{n L}  & ,

из которой вытекала бы невыполнимость множества { A₁, …, A_m, B₁, …, B_n }, противоречащая конечной выполнимости множества . Следовательно, множество {B₁,…,B_n,} выполнимо для любых B₁,…, B_n  . Таким образом, если   {} не является конечно выполнимым, то   {} – конечно выполнимо. Лемма доказана.

Замечание. Если  – конечно выполнимо, то для любой формулы A   формула A не принадлежит , ибо в противном случае {A, A} не выполнимо.

Теорема (о компактности). Пусть  – произвольное множество формул исчисления высказываний L. Тогда  выполнимо, если и только если  – конечно выполнимо.

Доказательство. Ясно, что если  – выполнимо, то оно конечно выполнимо. Докажем обратную импликацию. С этой целью рассмотрим множество всех конечно выполнимых   S, содержащих . Это множество частично упорядочено относительно отношения . Объединение цепи конечно выполнимых подмножеств    будет конечно выполнимым и будет содержать . По лемме Куратовского-Цорна существует   S, максимальное среди конечно выполнимых. Если для некоторого   S ни , ни  не принадлежат , то по лемме либо   {}, либо   {} конечно выполнимо. Это противоречит максимальности множества . Стало быть,  – полное.

Определим функцию е : S  I, полагая е() = 1 при   , и е() = 0 в других случаях. Легко видеть, что е будет интерпретацией, доказывающий выполнимость . В самом деле, пусть A, B  . Так как  – полное, то либо (A & B)  , либо A & B  . Если (A & B)  , то в силу конечной выполнимости  существует интерпретация е, для которой имеют место равенства е(A) = е(B) = е((A & B)) = 1. Эти равенства приводят к е(A & B) = 1 и е(A & B) = 0, опровергающим принадлежность (A & B) к множеству . Следовательно, из A   и B   вытекает A & B  . Отсюда е(A & B) = е(A) & е(B). Поскольку формула A  B равна: (A & B), то (е(A  B)) = (е(A)  е(B)). По построению , стало быть, е – интерпретация. Поскольку e’ | _ = 1, то  – выполнимо. Теорема доказана.

Введение 3