3. Исчисление высказываний

Математическая логика основана на понятии простого высказывания. Простое высказывание – это утверждение, про которое можно сказать, истинно оно или ложно при данных условиях. Из простых высказываний с помощью логических операций строятся составные высказывания, которые далее будут называться просто высказываниями. Сохраняющее эти операции сопоставление каждому высказыванию одного из значений «истина» или «ложь», обозначаемых соответственно 1 или 0, называется интерпретацией исчисления высказываний.

Классические логические задачи приводят к поиску интерпретации исчисления высказываний, при которой значения заданных высказываний известны. К таким задачам относятся, например, занимательные задачи об определении преступника на основе показаний, достоверность которых установлена.

В данной главе будет дано точное определение исчисления высказываний и доказаны теоремы о дедукции и полноте. Будет введено понятие формальной теории и доказана равносильность исчисления высказываний теории, основанной на аксиомах Клини.

3.1. Исчисление высказываний l

Алфавитом называется произвольное множество. Его элементы называются символами. Произвольная конечная последовательность символов называется словом. Слово может быть пустым.

Исчисление высказываний L определяется следующим образом:

Его алфавит состоит из символов , называемых логическими, и из символов, принадлежащих произвольному множеству Р, называемых нелогическими символами или буквами.

Синтаксис исчисления L определяется с помощью наименьшего подмножества S множества слов, такого, что

1. Р S;

2. Если AS и BS , то AS и (AB) S.

Элементы множества S называются (пропозициональными) формулами. Таким образом, формулами называются слова, определяемые по индукции с помощью правил 1 – 2 из логических и нелогических символов.

Аксиомами исчисления L называются формулы:

(A1) A(BA),

(A2) (A (BC)) ((AB) (AC)),

(A3) (BA) ((BA) B).

Здесь A, B, C – произвольные формулы. Поэтому в действительности мы имеем бесконечное множество аксиом, в каждой из групп A1, A2 и A3.

Правилом вывода Modus Ponens называется множество троек формул (A,AB,B), которое позволяет паре формул (A,AB) поставить в соответствие формулу B, называющуюся непосредственным следствием этих формул. Правило вывода Modus Ponens обозначается через MP и записывается, как

MP

Формула A называется выводимой в исчислении L из формул X₁, X₂, …, X_k, если существует последовательность формул: A₁, A₂, A₃, …, A_n, такая, что для каждого формула A_i является либо аксиомой исчисления L, либо элементом множества {X₁, …, X_k} , либо непосредственным следствием формул A_p и A_q, при некоторых 1 p, q i-1. В этом случае последовательность: A₁, A₂, A₃, …, A_n называется выводом формулы A. Для обозначения выводимости формулы A в исчислении L из формул X₁, …, X_k применяется запись:

X₁, X₂, …, X_{k L} A .

Если для вывода формулы A достаточно аксиом, то А называется теоремой теории L, а выводимость из пустого множества формул записывается, как

_L А .

Лемма. Имеет место теорема _L АА.

Доказательство. Построим вывод формулы АА из аксиом (А1) – (А3) следующим образом:

А₁ будет аксиомой (А2) для формул А, B = (АА), С = А;

А₂ будет аксиомой (А1) для формул А, В = (АА);

получим:

А₁=(А ((АА) А)) ((А(АА)) (АА)),

А₂=А((АА) А).

Применяя правило вывода MP , будем иметь непосредственное следствие формул A₂ и A₁:

А₃=(А(АА)) (АА).

Следующая формула получается из аксиомы (А1) подстановкой В = А:

А₄=А(АА).

Применяя правило вывода MP, получим:

А₅ = АА.

Последовательность формул: A₁, A₂, A₃, А₄, А₅ = (АА) является искомым выводом формулы АА.