4. Типовые задачи

   1. 1.1 Виды накоплений

Задача 1.1.1

В банке депонирована сумма А = 1000 ден.ед. на условиях ежегодного начисления простых процентов в размере В =15% годовых на первоночальную сумму в конце календарного периода. Определить накопленную сумму через С= 3 года .

Решение:

S_n = S_o (1+ i n ) = 1000 (1+0,15 х 3 ) = 1450

Контрольные задачи:

Вариант	Заданные значения			Вариант	Заданные значения						Вариант		Заданные значения
	А	В	С		А		В		С				А		В		С
1	1000	11	2	11	2000	21		2		21		3000		21		2
2	1100	12	3	12	2100	22		3		22		3100		22		3
3	1200	13	4	13	2200	23		4		23		3200		23		4
4	1300	14	5	14	2300	24		5		24		3300		24		5
5	1400	15	6	15	2400	25		6		25		3400		25		6
6	1500	16	7	16	2500	26		7		26		3500		26		7
7	1600	17	8	17	2600	27		8		27		3600		27		8
8	1700	18	9	18	2700	28		9		28		3700		28		9
9	1800	19	10	19	2800	29		10		29		3800		29		10
10	1900	20	11	20	2900	30		11		30		3900		30		11

Задача 1.1.2

Условия задачи 1.1.1, но вместо С лет начислений применить С лет + 200 дней.

Решение:

S_n = S_o (1+ i n ) = 1000 (1+0,15 х 3 ) = 1450 - накопленная сумма за полные 3 года.

Накопленная сумма за 200 дней: S ₂₀₀ = 1000 (1+0,15/365 х 200) = 1082,19

Доход по процентам за 200 дней 4 года: 1082,19 – 1000 = 82,19

Общая накопленная сумма вклада за 3 года и 200 дней: 1450 + 82,19 = 1532,19

Контрольные задачи:

Повторить варианты из задачи 1.1.1., но применить С лет + 200 дней .

Задача 1.1.3

Условия задачи 1.1.1, но вместо простых процентов применяются сложные.

Решение:

S_n = S_o (1+ i )ⁿ = 1000 (1+0,15 ) ³= 1 520,87

Контрольные задачи:

Повторить варианты из задачи 1.1.1.

Задача 1.1.4

Условия задачи 1.1.3, но начисления процентов периодические – ежеквартальные.

Решение:

S_n = S_o (1+ i/m )^{n m} = 1000 (1+0,15/4 ) ^{3 4} = 1000 (1,0375) ¹² = 1555,45

Контрольные задачи:

Повторить варианты из задачи 1.1.3.

Задача 1.1.5

Найти период времени n за который сумма, положенная на депозит по простой ставке в размере В =15% годовых возрастет в К = 6 раз.

Решение:

6 =S_n / S_o = 1+ i n = 1 + 0,15 х n

n = (6-1)/ 0,15 = 33,33 года

Контрольные задачи:

Варианты заданий взять из задачи 1.1.1., приняв К равным С.

Задача 1.1.6

Условия задачи аналогичны условиям задачи 1.1.5, но расчеты производятся по ставке сложных процентов.

Решение:

S_n / S_o = (1+ i )ⁿ. Чтобы определить n, необходимо прологарифмировать обе части уравнения: ln ( S_n / S_o ) = ln (1+ i )ⁿ . Откуда n= ln ( S_n / S_o ) / ln (1+ i ) .

Таким образом, n= ln ( 6 ) / ln (1,15 ) = 1,7917 /0,1398 = 12,8 лет.

Контрольные задачи:

Варианты заданий взять из условий задачи 1.1.5.

Задача 1.1.7

Определть какие условия для клиента являются наиболее выгодными:

а) Банк №1 предлагает А = 10,5% годовых с ежеквартальными начислениями процентов;

б) Банк №2 предлагает В = 10,2% годовых с ежемесячными начислениями процентов.

Решение:

Выгодность вложений определяется по максимальной эффективной процентой ставке.

а) i _эф = [(1+ i/m )^m - 1] х 100 = [(1+ 0,105 / 4 )⁴ - 1] х 100 = 10,92 %

б) i _эф = [(1+ i/m )^m - 1] х 100 = [(1+ 0,102 / 12 )¹² - 1] х 100 = 10, 69 %

а) 10,92 % ˃ б) 10, 69 % , т.о. условия банка №1 выгоднее для клиента.

Контрольные задачи:

Вариант	А	В	Вариант	А	В	Вариант	А	В	Вариант	А	В
1	10,6	10,3	11	12,3	11,4	21	14,4	12,5	31	16,4	15,4
2	10,7	10,4	12	12,5	12,3	22	14,6	14,4	32	16,6	15,6
3	10,8	10,5	13	12,8	11,7	23	14,8	14,5	33	16,8	15,3
4	10,9	10,6	14	13,0	12,5	24	15,0	14,0	34	17,0	16,9
5	11,0	10,8	15	13,2	13,1	25	15,2	14,9	35	17,2	14,9
6	11,0	10,9	16	13,4	13,0	26	15,4	15,25	36	17,4	16,9
7	11,5	9,8	17	13,6	13,1	27	15,6	14,2	37	17,6	17,3
8	11,6	11,5	18	13,8	13,6	28	15,8	15,3	38	17,8	16,8
9	11,7	11,0	19	14,0	13,9	29	16,0	15,8	39	18,0	17,8
10	12,0	11,8	20	14,2	13\.1	30	16,2	15,9	40	18,2	18,0

Задача 1.1.8

Построить график изменения эффективной процентной ставки для условий: а) полугодового; б)ежеквартального; в) ежемесячного; г) еженедельного; д) ежедневного – начислений сложного процента для номинальной процентной ставки в А = 10 % годовых.

Решение:

а) i _эф = [(1+ 0,10 /2 )² - 1] х 100 = 10.25 %

б) i _эф = [(1+ 0,10 /4 )⁴ - 1] х 100 = 10.38 %

в) i _эф = [(1+ 0,10 /12 )¹² - 1] х 100 = 10.47 %

гi _эф = [(1+ 0,10 /52 )⁵² - 1] х 100 = 10,51 %

д) i _эф = [(1+ 0,10 /365 )³⁶⁵ - 1] х 100 = 10,52 %

i

10,52

10,51

10,47

10,38

10,25

10

1 4 12 52 365 m

Рис. График изменения эффективной процентной ставки

Контрольные задачи к задаче 1.1.8:

Вариант	А	Вариант	А	Вариант	А	Вариант	А
1	11	11	21	21	31	31	41
2	12	12	22	22	32	32	42
3	13	13	23	23	33	33	43
4	14	14	24	24	34	34	44
5	15	15	25	25	35	35	45
6	16	16	26	26	36	36	46
7	17	17	27	27	37	37	47
8	18	18	28	28	38	38	48
9	19	19	29	29	39	39	49
10	20	20	30	30	40	40	50

Задача 1.1.9

Известна стоимость земельного участка З =500 000 ден.ед., величина которой запрогнозирована через Т = 5 лет. Рост стоимости запланирован по зависимости сложных процентов, начисляемых ежегодно по ставке i = 14% . Какова текущая стоимость земельного участка ?

Решение:

S_o = S_n / (1+ i )ⁿ = 500 000 / (1+ 0,15 )³ = 328 758, 1 ден.ед.

Контрольные задачи к 1.1.9:

Вариант	Заданные значения			Вариант	Заданные значения						Вариант		Заданные значения
	З	i	Т		А		В		С				А		В		С
1	600	11	2	11	1600	21		2		21		2600		21		2
2	700	12	3	12	1700	22		3		22		2700		22		3
3	800	13	4	13	1800	23		4		23		2800		23		4
4	900	14	5	14	1900	24		5		24		2900		24		5
5	1000	15	6	15	2000	25		6		25		3000		25		6
6	1100	16	7	16	2100	26		7		26		3100		26		7
7	1200	17	8	17	2200	27		8		27		3200		27		8
8	1300	18	9	18	2300	28		9		28		3300		28		9
9	1400	19	10	19	2400	29		10		29		3400		29		10
10	1500	20	11	20	2500	30		11		30		3500		30		11

Задача 1.1.10

На депозитный счет в банке положена сумма в размере А= 500 ден. ед. под i = 15% сроком на 2 года. Текущий темп инфляции составляет в первом году: первое полугодие D =6% ; второе полугодие – ежемесячно по E= 0,5%; второй год - ежеквартально – по К = 3%. Определить реальную сумму вклада, очищенную от инфляции.

Решение:

S_n (R)=S_o(1+ i )ⁿ / (1+α₁ )(1+α₂ )(1+α₃)(1+α₄ ) = 500(1+0,15)² /(1+0,06)(1+0,005)⁶ (1+0,03)⁴ =

= 537,90

Контрольные задачи к 1.1.10 :

Вариант	Заданные значения					Вариант	Заданные значения
	А	i	D	E	K		А		i		D	E	K
1	50	5	2	0,1	2	16	200	11		2		0,1	1
2	60	6	3	0,2	3	17	210	12		3		0,2	2
3	70	7	4	0,3	4	18	220	13		4		0,3	4
4	80	8	5	0,4	5	19	230	14		5		0,4	6
5	90	9	6	0,5	2	20	240	15		6		0,5	1
6	100	10	7	0,6	3	21	250	16		7		0,6	2
7	110	11	8	0,7	4	22	260	17		8		0,7	4
8	120	12	9	0,8	5	23	270	18		9		0,1	6
9	130	13	10	0,9	2	24	280	19		10		0,2	1
10	140	14	11	1.0	3	25	290	5		11		0,3	2
11	150	15	12	1,1	4	26	300	6		12		0,4	4
12	160	16	13	1,2	5	27	310	7		13		0,5	6
13	170	17	14	1,3	2	28	320	8		14		0,6	4
14	180	18	15	1,4	3	29	330	9		15		0,7	5
15	190	19	16	1,5	4	30	340	10		16		0,8	3