5.1.2 Сходимость по вероятности.

Сходимость, например, относительной частоты к вероятности отличается от сходимости в смысле математического анализа. Для того, чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие “сходимость по вероятности”. Различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к как пределу в смысле математического анализа, то начиная с некоторого и для всех последующих значений () неуклонно выполняется неравенство < (>0) (см. рис.1), если же стремится по вероятности к при , то для отдельных значений из n неравенство может не выполняться (см. рис.2). Коротко это можно записать так: .

Итак, событие < не является достоверным, но теорема Бернулли (см. ниже п.1.4) утверждает, что оно практически достоверно при достаточно больших n.

5.1.3. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Если явление устойчивости средних имеет место в действительности, то в математической модели, с помощью которой мы изучаем случайные явления, должна существовать отражающая этот факт теорема. В условиях этой теоремы введем ограничения на случайные величины :

а) Каждая случайная величина имеет математическое ожидание

M(), .

б) Дисперсии ограничены одним и тем же числом, т.е.

D()<C, .

в) Случайные величины попарно независимы, т.е. любые две и при ij независимы. Тогда, очевидно

D()D()+D()+...+D().

Сформулируем закон больших чисел в форме Чебышева.

Теорема. Если для случайных величин выполняются условия а)  в), то для любого >0 имеем при

P 1.

Доказательство. Пусть

, тогда M()  ,

D()  D()0.

Величина удовлетворяет всем требованиям для применения неравенства Чебышева, а именно, при любом >0

)1,

что и требовалось доказать.

Следствие. Если M()  ... M() , то для любого >0 при

P< 1.

Отсюда видно, что среднее арифметическое значение случайных величин  случайная величина, при большом числе n сколь угодно мало отличается от постоянной , т.е. утрачивает случайный характер.

Смысл з.б.ч. заключается, грубо говоря, в том, что при осреднении большого числа n случайных слагаемых все менее ощущается характерный для случайной величины неконтролируемый разброс в их значениях, так что в пределе по этот разброс исчезает вовсе или, как принято говорить, случайная величина вырождается в неслучайную. Однако при любом конечном числе слагаемых n случайный разброс у среднего арифметического этих слагаемых остается. Поэтому возникает вопрос исследования (при ) характера этого разброса. Фундаментальный результат в этом направлении (известный как “центральная предельная теорема” ) был впервые сформулирован Лапласом (см. §5.2).

5.1.4. Закон больших чисел в форме Бернулли.

Хотя в основе любого статистического вывода лежит понятие вероятности, мы лишь в немногих случаях можем определить вероятность события непосредственно. Иногда эту вероятность можно установить из соображений симметрии, равной возможности и т.п. (см. тему 2), но универсального метода, который позволял бы для произвольного события указать его вероятность, не существует. Теорема Бернулли дает возможность приближенной оценки вероятности, если для интересующего нас события А можно проводить повторные независимые испытания (см. схема Бернулли и статистическое определение вероятности). Она устанавливает связь между относительной частотой события и его вероятностью. При неограниченном увеличении числа независимых испытаний относительная частота некоторого события А сходится по вероятности к вероятности p Р(А).

Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность p появления события А постоянна, т.е. Р(А)  p. Тогда, если число испытаний достаточно велико (), то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, т.е.

P(  p <)1.

Доказательство. Применим теорему Чебышева. Пусть – число появлений события А в i – ом испытании, i  1, 2, . . . , n . Каждая из величин может принять лишь два значения:

 1 ( событие А наступило ) с вероятностью p ,

 0 ( событие А не наступило ) с вероятностью q  1– p .

Пусть  . Сумма равна числу m появлений события А в n испытаниях ( 0 m n ) , а, значит,  – относительная частота появления события А в n испытаниях . Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно : M()  p , D() pq ( см. Математическое ожидание, дисперсия и их свойства ) .

M()  p , D()   0 , так как pq – ограничено величиной . Следовательно, выполняются условия теоремы Чебышева, т.е.

P(  p )1 при , что и требовалось доказать.