§4.6. Вопросы для самопроверки.

Дайте определение многомерной случайной величины и функции распределения вероятностей.
Что называется совместным распределением двумерной дискретной случайной величины (X,Y)? Как оно записывается?
Как по известному совместному распределению двумерной случайной величины (X,Y) найти маргинальные распределения составляющих X и Y?
Что называется условным распределением составляющей X двумерной дискретной величины (X,Y)?
Что называется ковариацией?
Что называется коэффициентом корреляции?
Укажите свойства коэффициента корреляции.
Чему равен коэффициент корреляции случайных величин X и Y  1 – 2X?
В какую величину превращается ковариация двух случайных величин X и Y, если X  Y?
Равносильны ли понятия независимости и некоррелированности?

§4.7. Задачи

4.1. На двух различных рынках города продаются три типа автомобилей (А,В,С). Ниже приведены данные о числе проданных автомобилей за год:

Рынок	Тип автомобиля				Всего
	А	В	С
а	90	102	108	300
b	60	68	72	200
Всего	150	170	180	500

Найти следующие вероятности: Р(а, А), P(a, B), P(a, C), P(b, A), P(b, B), P(b,С), P(A), P(a/A), P(A/a). Составить таблицу совместных вероятностей.

4.2. Отдыхающие на некотором курорте являются, как правило, бизнесменами (B) или людьми свободных профессий (P) (адвокатами, художниками, врачами и т.д.). Владелец курорта хочет установить, не выгоднее ли ему будет выпускать рекламу двух видов, а не одного. Для этого он поручил своему рекламному отделу подготовить рекламу двух типов – одну для бизнесменов (тип I), другую – для людей свободных профессий (тип II). Реклама была подготовлена, материалы разосланы возможным клиентам, и было получено 800 заявок. Они распределились следующим образом.

	I	II	Всего
Специалисты (P)	120	80	200
Бизнесмены (В)	280	320	600
Всего	400	400	800

а). Найдите вероятности P(B,I); P(B,II); P(I/B).

б). Зависят ли заявки представителей каждой из групп от типа рекламы?

в). Постройте таблицу, согласно данным которой оба типа рекламы отражались бы на заявках одинаково. Найдите соответствующие вероятности P(B,I) и P(B,II).

4.3. Дважды бросается игральная кость. Случайные величины: Х – число появления шестерки, Y – число появлений четной цифры.

а) Описать закон распределения случайного вектора Z = (X,Y).

б) Установить, зависимы или независимы компоненты Х и Y.

в) Описать законы распределения отдельных составляющих.

г) Вычислить вероятность P = {X  Y}.

Указание. Для описания закона распределения дискретного случайного вектора (Х,Y) необходимо определить множество всех возможных пар значений и соответствующие вероятности. Результат представить в виде таблицы.

4.4. Рассмотрим пространство элементарных событий, состоящее из белых (W), красных (R) и зеленых (G) шаров: Определим случайную переменную X, равную 0,1 и 2 для W,R,G соответственно. Тогда P(W) = P(X = 0) = 0,3. Выберем теперь два шара (с возвратом) и обозначим результат первого испытания , а второго. Вычислить: