Тема 5. Предельные теоремы.

§5.1. Закон больших чисел.

В теории вероятностей и ее приложениях часто рассматриваются случайные величины, являющиеся, в свою очередь суммами большого числа случайных величин. Непосредственное вычисление распределения вероятностей суммы большого числа случайных величин обычно связано с большими трудностями. В то же время известно, что среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих и D()= при больших n ведет себя устойчиво, имеет малое рассеяние относительно a, его дисперсия стремится к нулю при n. Таким образом, при больших значениях n можно в определенном смысле считать, что среднее арифметическое n независимых случайных величин приближенно равно числу a, т.е. практически не зависит от случая.

Математическую формулировку свойства устойчивости среднего арифметического n случайных величин дают теоремы, известные как закон больших чисел (з.б.ч.).

Разные теоремы закона больших чисел отличаются исходными вероятностными моделями и различными формами статистической устойчивости. Исторически первой формой з.б.ч. была теорема Я.Бернулли (опубликована в 1713 г.) об устойчивости относительной частоты в модели повторных независимых испытаний. Затем она была обобщена Хинчиным А.Я. на случай испытаний с изменяющейся вероятностью , где i – номер испытания. Значительно более общие формы закона больших чисел были доказаны П.Л.Чебышевым (1811–1894 г.г.), А.А. Марковым (1856–1922 г.г.) и др.

5.1.1. Неравенство Чебышева.

Если известна дисперсия случайной величины, то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего математического ожидания, не зная распределения случайной величины. Эта задача была решена русским математиком П.Л. Чебышевым в 1867 г. Он доказал неравенство для неотрицательной случайной величины X, имеющей

M(X) и D(X):

P(XM(X)|< ) 1

Для доказательства этого неравенства покажем, что выполняется неравенство

P(X ) .

Действительно, когда непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятностей f(x), то

P(X ) =  = = .

Применив это неравенство к неотрицательной случайной величине

M( X M(X)), получим, что

P(|XM(X) | ) = P [(( X M(X))) ]

M (X M(X)) =

Неравенство Чебышева дает лишь грубые оценки сверху для вероятностей событий вида (|X М (X) |). Это “плата” за то, что нам неизвестен закон распределения вероятностей. Так , если оценивать вероятность этого события для нормально распределенной случайной величины X, не зная, что она нормально распределена, то

P(|X а|3)0,111...

Ранее (см. правило трех сигм) было найдено точное значение, равное 0,0027. Отсюда видно, что точное значение вероятности в 40 (!) раз меньше ее грубой оценки, полученной на основании неравенства Чебышева.

Пример 1. Сумма всех вкладов в банке составляет 2 млн. долларов., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10000 долл., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков банка?

Решение. Пусть X – сумма случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда

M(X) 210/n. Из условия задачи следует, что P( X < 10000) 0,8. Тогда 0,8. Откуда 200 n0,2; n 1000.

Пример 2. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20000 квт.ч., а среднее квадратическое отклонение – 200 квт.ч. Какое потребление электроэнергии можно ожидать в этом населенном пункте в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?

Решение. По условию задачи M(X) 20000 квт.ч., (X) 200 квт.ч.,

<) 0, 96.

Из неравенства Чебышева известно, что . Определим 1000 квт.ч., 200001000 < X < 20000+1000.

Ожидается потребление электроэнергии в пределах от 19000 квт.ч. до 21000 квт.ч.