27. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

.

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница.

.

Все условия признака выполнены, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать, сходятся или расходятся знакочередующиеся ряды:

1)

2)

Ответ: 1) ряд сходится; 2) ряд сходится.

28. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда

1. Найти радиус сходимости степенного ряда

.

Решение

Ответ: R = 5.

2. Найти радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда

Решение

Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле

В нашем случае

Тогда

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид

Ответ: R =, интервал сходимости

Задания для самостоятельной работы

Найти радиус, интервал сходимости степенного ряда

1) ;

2)

Ответы:

1) R = 1, интервал сходимости (-1; 1).

2) R =, интервал сходимости

29. Определение вероятности события. Условная вероятность, сложение и умножение вероятностей Классическое определение вероятности

1. На бирже продаются акции 12 предприятий, причем 4 предприятия имеют собственные магазины. Некто случайным образом приобретает акции трех предприятий. Найти вероятность того, что в число этих предприятий войдут:

1) только предприятия, имеющие магазины;

2) только одно предприятие, имеющее магазин;

3) хотя бы одно предприятие, имеющее магазин.

Решение

Для решения этой задачи используем классическое определение вероятности

где m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих появлению события А; n – число всех равновозможных элементарных событий.

1) по условию задачи n – это число способов, которыми можно отобрать 3 предприятия из 12; m – это число способов, которыми можно выбрать 3 предприятия из числа предприятий, имеющих магазины, т.е. из четырех. Так как порядок выбора изделий не имеет значения, то для вычисления количества комбинаций воспользуемся формулой числа сочетаний:

.

Следовательно, n = и m = .

Итак: Р(А) = 0,018;

2) n – не изменится, m – это число способов, которыми можно выбрать 1 предприятие из числа предприятий, имеющих магазины, и, следовательно, 2 предприятия из числа предприятий, не имеющих магазины, т. е. из 12 – 4 = 8 (т.к. всего нужно выбрать три магазина): n = и

m = .

Итак, Р(В) = = = 0,509.

3) Обозначим событие С = {хотя бы одно из приобретенных предприятий имеет магазины), тогда противоположное событие будем обозначать = {ни одно из приобретенных предприятий не имеет магазины}. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому

Р(С) = 1 – Р().

Вычислим вероятность того, что ни одно из приобретенных предприятий не имеет магазины.

n – не изменится, m – это число способов, которыми можно выбрать 0 предприятий из числа предприятий, имеющих магазины, и, следовательно, 3 предприятия из числа предприятий, не имеющих магазины: n = и m = .

Тогда Р() = ≈ 0,255.

Итак: Р(С) = 1 – 0,255 = 0,745.

Ответ: Р(А) = 0,018; Р(В) = 0,509; Р(С) = 0,255.

2. Из ящика, содержащего 20 стандартных и 5 бракованных изделий, извлекаются 2 изделия. Какова вероятность того, что не менее одного изделия окажется стандартным?

Решение

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности (см. предыдущий пример).

По условию задачи m – это число способов, которыми можно выбрать не менее одного стандартного изделия, т.е. 2 стандартных изделия из 20 или 1 стандартное изделие из 20 и 1 бракованное из 5 изделий. Так как порядок выбора изделий не имеет значения, то для вычисления количества комбинаций воспользуемся формулой числа сочетаний (см. предыдущий пример).

Таким образом,

m = + ∙ = = 190 + 20∙5 = 290.

По условию задачи n – это число способов, которыми можно выбрать 2 изделия из общего количества 25. Следовательно,

Итак, = ≈ 0,967.

Ответ: Р(А) = 0,967.

Задания для самостоятельной работы

1. В трех бухгалтерских документах из двенадцати имеются нарушения. Для проверки инспектор случайным образом выбирает четыре документа. Какова вероятность того, что ни один из документов не содержит нарушений? Ответ: 0,255.

2. На тепловой электростанции работает 10 сменных инженеров, из них 3 молодых специалиста. В смену занято 5 человек. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену окажется 2 молодых специалистов. Ответ: 0,417.

3. Из 30 вопросов программы студент подготовил 20 вопросов. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 2 из 3 поставленных в билете вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет? Ответ: 0,749.

4. В группе из 25 человек 10 хорошистов. Преподаватель вызывает к доске 4 человек. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один хорошист? Ответ: 0,892.