23. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. Найти частное решение дифференциального уравнения

.

Решение

Так как , то

Ответ: .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Ответ: y = Cx – 5.

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения:

1. у' = х³.

2. xdy =ydx.

3. ху' = y – 4.

4. xуdy =dx.

Ответы:

1. .

2. у = Сх.

3. y = Cx + 4.

4. .

24. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка удовлетворяющего начальному условию

Решение

Данное уравнение решаем с помощью подстановки где – неизвестные функции. Тогда Подставив в исходное уравнение, получим

. (*)

Найдем функцию v (x) из условия

Подставляем полученное выражение для v (x) в уравнение (*):

Тогда – общее решение исходного уравнения.

Из начального условия находим С:

Следовательно, – частное решение исходного уравнения.

Ответ:

Задание для самостоятельной работы

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка удовлетворяющего начальному условию

Ответ:

25. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда

1. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение

Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда .

Для этого ряда

_{Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется}

необходимое условие сходимости.

Ответ: ряд расходится.

2. Для числового ряда записать три первых члена ряда и исследовать его на сходимость, проверив необходимый признак сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Задание для самостоятельной работы

Исследовать на сходимость ряд

.

Ответ: ряд расходится.

26. Достаточные признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, Даламбера, Коши)

1. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Так как , то имеем

Следовательно, исходный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

2. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

.

Параметр . Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Ответ: ряд сходится.

3. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение

Применим признак Даламбера, в нашем случае .

Тогда

Следовательно, исходный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

4. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Применим признак Даламбера:

Следовательно, исходный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

5. Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Коши:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

6. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Применим признак Коши:

Следовательно, исходный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать на сходимость ряд

1. 2. 3.

Ответы: 1. ряд сходится. 2. ряд сходится. 3. ряд сходится.