16. Точки разрыва функции и их классификация

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 1. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке .

Определение 2 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и , они равны между собой: , но сама функция не определена в точке или определена, но .

Определение 3. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или ) не существует или равен бесконечности.

Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:

а)

б)

Решение

а) Функция определена и непрерывна на интервалах , и , так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

, .

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .

Для точки находим:

,

, .

Таким образом, имеем: . Следовательно, в точке наша функция является непрерывной.

График данной функции изображен на рисунке

б) В точке функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:

,

, .

Так как , то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: .

В точке функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:

, .

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

Задания для самостоятельной работы

Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип:

а) б) .

Ответы:

а) – точка устранимого разрыва;

б) – точка разрыва первого рода.

17. Производная функции. Правила дифференцирования функций

1. Вычислить , .

Решение

.

2. Найти предельные издержки и вычислить их значение при , если функция издержек имеет вид .

Решение

3. Вычислить , если .

Решение

По формуле производной частного находим

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить , если у = х³ · е^3х+5.

2. Найти предельные издержки и вычислить их значение при х=10, если функция издержек имеет вид

С(х) = 0,04х³ – 0,2х² + 10.

3. Вычислить , если у = ln(cos 8х) + sin³x.

Ответы:

1. = 3х² · е^3х+5  (1+х).

2. (10) = 8.

3. = -8tg8x + 3sin²x · cosx.

18. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей

При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности видов:

Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя:

1. Если то , когда последний предел существует.

2. Если то ,

когда последний предел существует.

То есть, если мы имеем неопределенности воспользоваться правилом Лопиталя означает: найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример .

а)

б) .

в)

Задания для самостоятельной работы

Найти предел функции, используя правило Лопиталя.

а) , б) , в) , г) , д).

Ответы: а) 0, б) 0, в) , г) , д) 1.