11. Предел числовой последовательности
1.
= (делим числитель
и
знаменатель на наивысшую степень п,
в данном случае на
)
=
.
2.
.
3.
4.
При вычислении предела последовательности
часто возникает неопределенность
.
В этом случае для ее раскрытия используют
следующий прием: выражение умножают и
делят на сопряженное выражение.
Проиллюстрируем это на примере:
(делим
числитель и знаменатель на п)
.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти пределы:
а)
б)
в)
г)
.
2. Найти пределы:
а)
б)
Ответы:
1. а)
,
б) 0, в) 2, г) 0.
2. а) 4, б) 1.
12. Предел функции одной переменной в точке
1. Найти предел функции.
а)
б)
2.
Найти односторонние пределы функции
в точке
3. Нахождение предела функции в бесконечности алгоритмически совпадает с нахождением предела числовой последовательности.
а)
;
б)
;
в)
Задания для самостоятельной работы
-
Найти предел функции:
а)
,
б)
,
в)
.
2. Найти предел функции:
.
Ответы:
1.
а) 1, б)
,
в)
.
2. 1.
13. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Функция
называется бесконечно
малой функцией
(б.м.ф.) при
,
если
Функция
называется бесконечно
большой функцией
(б.б.ф.) при
,
если
.
Пример.
а)
функция
б.м.ф. при
.
б)
функция
б.б.ф. при
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
-
Сумма и произведение конечного числа б.м.ф при
есть б.м.ф.
-
когда
где
б.м.ф
при
. -
Произведение двух б.б.ф при
есть б.б.ф. -
Если
б.б.ф при
то
– б.м.ф. при
.
Если
б.м.ф при
и
в некоторой окрестности точки
то
– б.б.ф при
(cм.
пример).
14. Замечательные пределы
Первый замечательный предел:
или
.
Учитывая, что
,
имеем также, что
или
.
Второй замечательный предел:
или
.
Рассмотрим на примерах использование замечательных пределов.
Пример
а)
,
т. к.
;
б)
,
т. к.
в)
.
г)
(Проверить самостоятельно);
д)
,
т. к.
;
е)
,
т. к.
;
ж)
,
т. к.
,
.
Задания для самостоятельной работы
Найти предел функции, используя первый и второй замечательные пределы.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
е)
.
Ответы:
а)
,
б)
,
в) 2, г)
,
д)
,
е)
.
15. Непрерывность функции в точке
Определение
1. Функция
называется непрерывной в точке
,
если выполнены следующие три условия:
1)
определена
в точке
и ее окрестности; 2)
существует конечный предел функции
в точке
;
3)
этот предел равен значению функции в
точке
,
т. е.
.
Определение
2. Функция
называется непрерывной в точке
,
если: 1)
определена
в точке
и ее окрестности; 2)
бесконечно
малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции:
Пример
1. Доказать,
что функция
непрерывна в любой точке области
определения, т. е. в любой точке
.
Решение
Дадим
аргументу
приращение
в точке
и найдем приращение функции
:
.
Следовательно,
.
Таким
образом,
,
а это и означает, что функция
непрерывна в точке
.
Пример
2. Исследовать
на непрерывность в точке
следующие функции:
а)
;
б)
Решение
а)
Функция
определена в окрестности точки
,
но в самой точке
она не определена, следовательно, в этой
точке она не является непрерывной (не
выполнено первое условие непрерывности).
б)
Для исследования на непрерывность
воспользуемся определением 2. В точке
функция
определена (
), т. е. первое условие непрерывности
выполнено; второе условие также
выполняется:
;
;
третье условие непрерывности не
выполняется, так как
.
Следовательно, данная функция также не
является непрерывной в точке
.
Задания для самостоятельной работы
Исследовать следующие функции на непрерывность в указанных точках:
а)
б)
.
Ответы:
а)
– точка разрыва второго рода;
– точка непрерывности функции;
б)
– точка непрерывности функции;
– точка разрыва второго рода.