9. Уравнения плоскости

1. Даны точки М₁(0; –1; 3) и М₂(-1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору .

Решение

Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой и нормальным вектором. Вектор – нормальный (перпендикулярный) к данной плоскости. Следовательно, уравнение плоскости будет иметь вид:

 .

Ответ: .

2. Найти расстояние от точки М(1; 3; –2) до плоскости

2х –2у + z – 4 = 0.

Решение

Применяя формулу получаем

(лин. ед.).

Ответ: (лин. ед.).

3. Найти расстояние между плоскостями:

α₁ : 3х + 4у – 2z + 3 = 0,

α₂ : 6х + 8у – 4z + 9 = 0.

Решение

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, так как нормальные векторы к ним коллинеарны: (3; 4; -2), (6; 8; -4), .

Расстояние между плоскостями – это расстояние от любой точки М, принадлежащей плоскости α₁, до плоскости α₂. Найдем координаты точки М(х, у, z) α₁. Пусть у = z = 0. Тогда из уравнения плоскости α₁:

3х + 40 – 20 + 3 = 0  х = -1  М(-1, 0, 0) α₁.

Следовательно:

(лин. ед.).

Ответ: (лин. ед.).

4. Найти величину острого угла между плоскостями:

и .

Решение

Для нахождения острого угла используем формулу: ,

, .

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной векторам и .

Решение

Пусть – текущая точка плоскости. Тогда векторы , – компланарны. Из условия компланарности трех векторов следует, что их смешанное произведение равно нулю: или .

Вычислив определитель в левой части, получим общее уравнение плоскости .

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

2.  Какие отрезки отсекает плоскость на осях координат?

3.Найти величину острого угла между плоскостями:

и .

4. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

и .

Ответы: 1. .

2. , ,

3. .

4. 8.

10. Кривые второго порядка

1. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х² + у² – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х² + у² – 4х + 6у – 3 = (х² – 4х + 4) – 4 + (у² + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

 (х – 2)² + (у + 3)² = 16.

Учитывая уравнение окружности, имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

Ответ: (2; –3), R = 4.

3. На параболе у² = 6х найти точку, фокальный радиус которой

равен 4,5.

Решение

Так как у² = 2рх  2р = 6, р = 3.  = =  Значит, у² = 6 · 3 = 18  у =  = .  (3; ) – две такие точки.

Ответ: (3; ).

3. Какую линию определяет уравнение 9х² – 4у² = 36? Найти фокусы и эксцентриситет.

Решение

Разделим уравнение на 36. Получим Следовательно, уравнение определяет гиперболу, а = 2, b = 3. Отсюда . Следовательно,

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

1. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х² – 6х + у² + 12у + 36 = 0.

2. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса 3х² + 4у² = 12.

3. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 5х² – 4у² = 20.

4. Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 4х² – 9у² = 36.

5. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы

у² = 8х.

Ответы:

1. М (3; -6), R = 3.

2. F₁ (-1; 0), F₂ (1; 0),  = 0,5.

3. а = 2, в = , F₁ (-3; 0), F₂ (3; 0),  = 1,5.

4. 

5. F (2; 0), х = -2.