Однородные дифференциальные уравнения
Вначале введем
понятие однородной функции. Функция
называется однородной
функцией
порядка k,
если
,
.
Пример 3. Какие из функций будут однородными?
1)
;
2)
;
3)
.
Решение:
1.
.
Функция
– однородная функция второго порядка
(так как переменная t
в квадрате, т. е. k
= 2).
2.
.
Функция
– однородная функция четвертого порядка.
3.
.
Функция
не является однородной.
Уравнение вида
|
|
(10) |
называется
однородным,
если
– однородные функции одного порядка,
то есть в (10):
,
.
Заметим, что уравнение (10) можно привести к виду
.
С помощью подстановки
|
|
(11) |
,
где
– новая неизвестная функция, однородное
уравнение (10) может быть приведено к
уравнению с разделяющимися переменными
относительно неизвестной функции
и переменной х.
Пример 4. Решить
уравнение
.
Решение
В данном случае
функции
и
– однородные функции первого порядка.
Действительно:
,
.
Таким образом, исходное уравнение есть однородное уравнение (10) и для его решения необходимо применить подстановку (11):
.
Подставим у и dy в уравнение:
,
,
или
,
– уравнение с
разделяющимися переменными.
.
Подставляя в данное
решение
,
получаем общее решение исходного
уравнения:
.
Заметим, что к
данному общему решению необходимо
добавить решение
,
полученное выше. Действительно,
будет также решением исходного уравнения,
так как
при
,
следовательно
.
Таким образом,
непосредственной подстановкой мы
убедились, что
– также решение исходного уравнения,
причем оно не может быть получено из
общего ни при каких значениях константы
С.
Значит, решением исходного уравнения
будет:
и
.
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной у′, т. е. уравнение вида
|
|
(12) |
.
Здесь
и
– непрерывные на
функции.
Если в (12) правая
часть
,
то уравнение называется линейным
неоднородным,
если
– линейным
однородным
уравнением.
Метод подстановки (метод Бернулли)
По этому методу решение уравнения (12) ищется в виде
|
|
(13) |
,
где
и
– некоторые непрерывно-дифференцируемые
на
функции, которые необходимо будет найти.
Так как
,
то
.
Подставим у
и
в уравнение (12):
|
|
(14) |
.
В качестве
возьмем такую функцию, чтобы выражение
в уравнении (14) обращалось бы в нуль,
т. е.
|
|
(15) |
.Тогда уравнение (14) преобразуется в уравнение
|
|
(16) |
.Уравнения (15) и (16) являются уравнениями с разделяющимися переменными (способ их решения смотрите выше). Решим вначале уравнение (15):
,
,
,
,
,
,
|
|
(17) |
.
Как правило,
константу
в (17) полагают равной 1.
Подставим найденную
функцию
из (17) в уравнение (16):
|
|
(18) |
.
Таким образом, мы
определили необходимые нам неизвестные
функции
и
.
Следовательно, решением исходного
линейного дифференциального уравнения
первого порядка будет функция
|
|
(19) |
.
Формула (19) позволяет
сразу найти решение дифференциального
уравнения (12). Но в силу ее громоздкости
лучше помнить алгоритм решения таких
уравнений, а именно, подстановку
.
Заметим, что формула (19) значительно
упрощается для линейного однородного
уравнения
(в котором
):
|
|
(20) |
.Пример 5. Решить уравнение
|
|
(21) |
.Решение
Сравнивая вид уравнения (21) с видом уравнения (12), действительно убеждаемся, что оно линейное:
,
,
причем оно неоднородное.
Для его решения применим подстановку (13):
,
,
,
|
|
(22) |
.
1. Пусть
.
,
,
тогда при
|
|
(23) |
.2. Подставим (23) в (22):
,
,
|
|
(24) |
.Таким образом, учитывая (23) и (24), общим решением уравнения (21) будет функция:
|
|
.