Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция
непрерывна на конечном промежутке
,
но не ограничена на этом промежутке.
Определение
2.
Несобственным интегралом
от
функции у = f(x)
на
промежутке [а,
b)
называется предел
,
т.е.
.
Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Несобственные интегралы от неограниченных функций иногда называют несобственными интегралами второго рода.
Аналогично вводится
понятие несобственного интеграла от
функции
непрерывной, но не ограниченной на
промежутке
:
.
Если функция
не ограничена при
,
где
,
и непрерывна при
и
,
то несобственный интеграл от функции
у = f(x)
на отрезке
обозначается
и определяется равенством
.
Несобственный интеграл называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 3. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
Решение.
Данный интеграл является интегралом
от неограниченной функции (подынтегральная
функция
не определена в точке
,
при
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена:
]
=
,
следовательно, данный интеграл сходится.
Задачи для самостоятельного решения
10. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
a)
и осью Ox;
б)
;
в)
и
;
г)
и
;
д)
и
;
е)
и
.
2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а)
где
;
б)
;
в)
;
г)
.
3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4. а) вычислить
длину дуги кривой
,
заключенной между точками, для которых
.
б) вычислить длину
дуги кривой
,
заключенной между точками, для которых
.
5. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
11. Дифференциальные уравнения
Пусть F:
– непрерывная функция. Соотношение
|
|
(1) |
,
связывающее
независимую переменную х,
неизвестную функцию
и ее производные
(наличие хотя бы одной производной
обязательно), называется дифференциальным
уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Решение может быть
задано в неявном виде
.
В этом случае его называют интегралом
дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция
|
|
(2) |
,
зависящая от х
и n
произвольных независимых постоянных
,
обращающая это уравнение в тождество.
Заметим, что число произвольных постоянных
равно порядку дифференциального
уравнения.
Общее решение, заданное в неявном виде
,
называется общим интегралом.
Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, которое получается из (2), если придать конкретные значения произвольным постоянным, т. е.
,
где
– фиксированные числа.
Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего путем фиксирования произвольных постоянных
,
где
– фиксированные числа.