4. Гармонійний аналіз часових рядів

Розглянемо особливий випадок наявності автокореляції в залишках, коли тренд часового ряду поданий у вигляді суми двох складових; неперіодичної q(t) і періодичної P(t), тобто

Y(t) = q(t)+P(t)+E(t) (33)

Після перебування оцінки неперіодичної складової зокрема, у вигляді залежностей (2) - (7), у залишках буде присутня періодична складова P(t), що призведе до наявності автокореляції. Розглянемо методи виділення періодичної складової тренду часового ряду.

Метою гармонійного аналізу є виявлення і визначення періодичних коливань у часових рядах. Слід зазначити, що за допомогою ряду Фур'є будь-які періодичні коливання можна представити сумою певного числа гармонік, але задача гармонійного аналізу полягає у визначенні основних гармонік, що містять основні закономірності розвитку досліджуваного явища.

Загальну задачу гармонійного аналізу - виявлення періодичної складової - можна сформулювати в такий спосіб. Нехай на кінцевому інтервалі (-L; L) задана функція x(t), причому x(t) = P(t)+E(t), де

P(t) - періодична функція;

E(t) - випадкова складова, причому і .

Функція P(t) вважається цілком визначеною, якщо відомі її період T (або частоти ) і коефіцієнти ряду Фур'є.

(34)

Задача вважається вирішеною, якщо визначені параметри .

У нашому випадку в ролі X(t) виступає і задача зводиться по суті до перебування оцінки залежності

(35)

де - невідомі параметри. Ці параметри визначаються методом найменших квадратів, що мінімізує функцію

, (36)

із нормальної системи 2m+1 рівнянь [5]. Можна показати [5], що на інтервалі [-L; L] розв'язання цієї системи

(36')

k=1; 2; ... ;m

Частоти визначаються як , де - періоди коливань X(t), що знаходяться як відстані між піками коливань цієї функції, заданої по точках на графіку. Як випливає з вищевикладеного, при виділенні періодичної складової тренду часового ряду дві основні труднощі: 1) у визначенні частот коливань і 2) обсягу обчислень за формулами (36).

4.1. Сезонна складова

Виявлення сезонних коливань тренду часового ряду є окремим випадком гармонійного аналізу, при якому період коливань T відомий і дорівнює 12 місяцям n=12. Коефіцієнти Фур'є визначаються за допомогою формул Беселя для найкращого (у значенні методу найменших квадратів) наближення функції X(t) тригонометричною сумою [5].

(37)

Оцінка має вигляд

(38)

Звичайно . Найбільше придатною є функція , при якій середньоквадратична помилка має найменше значення, де

(39)

4.2. Основні гармоніки

Часто досліднику потрібні не всі гармоніки в (38) , а лише основні, що породжують основна частина дисперсії процесу. Перебування таких гармонік можливо на основі теореми Парсеваля [5].

Рівняння (35) можна записати у вигляді

, (40)

де (41)

(42)

(43)

Рівняння (40) називається амплітудним і фазовим представленням процесу X(t), RK називається амплітудою і - фазою к-ої гармоніки щодо деякого довільного початку відліку часу.

Дисперсія процесу X(t) дорівнює

, (44)

якщо і

, (45)

якщо

У такий спосіб із (44) - (45) випливає, що внесок у дисперсію для нульової гармоніки дорівнює , для к-ої гармоніки - , (k=1, 2, . . . , m). Для перевірки істотності внеску гармоніки (істотності гармоніки) у дисперсію можна перевірити значимість коефіцієнтів R у моделі (40). Як незалежні перемінні (фактори) виступають функції , k=1; 2; ... m. відповідає фактор тотожно рівний 1, тобто Z0(t)=1. Тоді (40) подано у вигляді

(46)

тобто у вигляді рівняння множинної регресії.

Для перевірки значимості необхідно за формулами (25) знайти розрахункові значення критерію Стьюдента. , де за (24)

. З (23) .

, t=1, 2, . . . , T.

Тоді розмірність , а . Знайдемо коваріаційну матрицю .

(47)

(48)

Можна показати [6], що

(49)

Тому що (48) є наближенням (49) за правобічною формулою прямокутників [1], то можна вважати, що

(50)

Тоді

і

Отже, (51)

і, відповідно,

(52)

Зауваження 4. Тому, що матриця діагональна, то при винятку з моделі (46) факторів, що незначуще впливає, ZK(t) змінюється тільки , де m₁ - число від 0 , k = 1; 2; . . . ; m, , що значимо відрізняються.