§ 2. Кардинальные операции над множествами

Следует отметить, что для теоретико-множественных операций над множествами, рассмотренных в §1, характерно то, что результирующее множество не выводит нас из заданного универса. Для кардинальных операций это свойство не имеет места.

Прямое (декартово) произведение множеств A и B – это множество , т.е. множество всех упорядоченных пар, у которых первый элемент из множества A, а второй – из множества B.

Например, если , , получаем .

Теорема 1. .

Доказательство. Пусть , , тогда каждый элемент множества образует пар с различными элементами множества , значит, всего получаем упорядоченных пар, что и требовалось доказать.

Множество называется прямым произведением множеств.

Теорема 2. .

Теорема доказывается методом математической индукции.

Множество называется n-ой прямой степенью множества A и обозначается через .

Следствие. .

Например, если , то построим за два шага:

1. ;

2. 

.

– множество всех подмножеств множества A или булева степень множества A.

Например, для множества получаем

.

Заметим, что множество всех подмножеств множества A можно задать в “параметрическом виде”: , т.к. для любого .

Теорема 3. .

Доказательство. Если , т.е. , то его единственное подмножество есть . .

Допустим, что при теорема справедлива.

Пусть и . Подсчитаем число элементов множества . Обозначим , тогда . Заметим, что каждый элемент множества либо является подмножеством , либо получен из подмножества добавлением элемента . Число элементов каждого типа равно числу подмножеств , причем по предположению индукции получаем , тогда , что и требовалось доказать.

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Пусть , тогда по определению .

Получаем, что и , откуда и . Значит, .

Пусть , тогда и , т.е. и , откуда , т.е. . Значит, .

Окончательно получаем, что .

Кардинальная степень – множество всех функций с областью определения B и областью значений A, т.е. . Отображение f таково, что каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Теорема 4. .

Доказательство. Пусть , , тогда отображение f можно задать упорядоченным набором длины k: , где . Число всех таких наборов равно в силу следствия теоремы 2, следовательно . Теорема доказана.

Пример 2. Найти , если , .

Решение. Если , тогда f задаётся двоичным упорядоченным набором длины 3. Так как число таких наборов равно , то получаем 8 различных функций, которые сведены в таблице (рис.1), .

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)	f5(x)	f6(x)	f7(x)	f8(x)
a	0	0	0	0	1	1	1	1
b	0	0	1	1	0	0	1	1
c	0	1	0	1	0	1	0	1

Рис. 1

Функция от n переменных, принимающих значения из множества B, и имеющая в качестве области значений множество A, отображает множество в A , т.е. . Таким образом, из теоремы 4 вытекает

Теорема 5. Число всех функций от n переменных с областью определения B и областью значений A равно .

Пусть . Рассмотрим функции от n переменных с областью определения и множеством значений . Обозначим это множество функций через , т.е. =.

Функция называется булевой функцией или функцией алгебры логики от n переменных.

Теорема 6. .

Множество всех булевых функций от n переменных, которые на нулевом (на единичном) наборе принимают нулевое (единичное) значение, обозначим через .

Пример 3. Найти .

Решение. Пусть , тогда значения функции можно произвольно выбирать на всех двоичных наборах, кроме нулевого и единичного, т.е. на наборах. Такой выбор осуществляется способами. Ответ: =.