-
§ 1. Множества. Основные операции над множествами
Теория множеств – раздел дискретной математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых математических понятий. Можно сказать, что множество – это любая определенная совокупность объектов. Объекты, из которых образовано множество, называются его элементами. Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита, а элементы множеств – строчными буквами. Для задания множеств используются два способа.
Первый способ задания заключается в
записи всех элементов множества внутри
фигурных скобок через запятые. Например,
множество, состоящее
из n
элементов
Второй способ состоит в указании общего
свойства элементов, из которых образовано
множество. Запись
читается как “множество всех элементов
,
для которых верно
”.
Например,
обозначает множество четных чисел.
Выражение
означает то, что элемент
принадлежит множеству
.
Если
не является элементом
,
то
.
– пустое множество, т.е. множество,
не содержащее ни одного элемента.
– универсальное множество или
универс, т.е. множество, содержащее
все элементы.
Запись
(A
включено в B)
означает, что множество
является подмножеством множества
,
т.е. все элементы множества
принадлежат множеству
.
Пустое множество является подмножеством
любого множества.
означает, что множества A
и
равны, т.е. они состоят из одних и тех же
элементов или оба пусты.
(A
строго включено в B),
если
и
,
т.е.
является собственным подмножеством
множества
.
Для конечного множества
мощность – это число элементов в
.
Для обозначения мощности
используется запись
.
Множества
и B
равномощны, если между элементами
этих множеств существует взаимно-однозначное
соответствие.
Теоретико-множественные операции над множествами
— дополнение множества
,
т.е. все элементы универса, не принадлежащие
.
– объединение множеств
и
,
т.е. все элементы универса, принадлежащие
или
.
– пересечение множеств
и
,
т.е. все элементы универса, принадлежащие
и
.
– разность между множествами
и
,
т.е. множество всех элементов множества
,
не принадлежащих множеству
.
– симметрическая разность
множеств
и
,
т.е. все элементы универса, принадлежащие
только множеству
или только множеству
.
С
помощью теоретико-множественных операций
над множествами можно строить формулы.
Для упрощения записи формул скобки
можно опускать, придерживаясь следующего
правила: пересечение сильнее всех
остальных операций. Знак пересечения
в формулах можно опускать. Таким образом,
формулу
можно записать в виде
.
Две
формулы алгебры множеств
и
тождественно равны, если они задают
одно и то же множество. Равносильность
формул будем называть тождеством и
записывать в виде
.
Например,
формулы
и
задают одно и то же множество
.
Основные тождества алгебры множеств
-
Коммутативные законы:
а)
; б)
.
-
Ассоциативные законы:
а)
; б)
.
-
Дистрибутивные законы:
а)
;
б)
.
-
Законы де Моргана:
а)
; б)
.
5. Законы поглощения:
а)
; б)
.
6. Законы идемпотентности:
а)
; б)
.
7. а)
; б)
.
8. а)
; б)
.
9. а)
; б)
.
10. а)
; б)
.
11. а)
;
б)
.
-
.
13.
– коммутативность симметрической
разности.
14. 
.
-
.
Множества
в силу ассоциативных законов не зависят
от порядка расстановки скобок, поэтому
их можно записывать без скобок. Введём
обозначения:
; 
.
Имеют место следующие обобщённые тождества:
16. Законы обобщённой дистрибутивности:
а)
б)
.
17. Законы обобщённой дистрибутивности:
а)
;
б)
.
18. Обобщённые законы де Моргана:
а)
; б)
.
Операция
является двойственной к операции
,
и наоборот, операция
двойственна к операции
.
Множество
двойственно к Ø,
а Ø двойственно
к
.
Если в формуле
используются только операции
и дополнение, а также множества U
и Ø, тогда
формула
,
которая получается из
после замены каждого символа на
двойственный, т.е.
на
,
на
,
Ø
на
,
на Ø, называется
формулой двойственной к
.
Если доказано тождество
,
то справедливо и двойственное тождество
.
Для его доказательства достаточно в
доказательстве тождества
каждый символ заменить на двойственный
к нему. В соотношениях 1-11 и 16-18 попарно
выписаны тождества
и
.
Для доказательства тождества
достаточно показать, что
и
.
Лемма 1.
.
Лемма 2.
.
Лемма 3.
Лемма 4
Установленные выше тождества, а также леммы 1 – 4, позволяют доказывать более сложные утверждения и упрощать сложные условия, накладываемые на множества.
Пример 1. Доказать тождество:
Решение. 1 способ. Справедливость утверждения можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства, и наоборот.
(а) Докажем, что
Пусть
Если
и
то
Значит,
Если
и
то
Значит,
Показали,
что
(б) Пусть
теперь
Тогда
и
Отсюда следует, что если
то
значит,
но
Если
то
,
значит,
но
Тогда,
и
Тождество доказано.
2 способ. Этот способ основан на
применении известных тождественных
соотношений 1-18. Действительно, используя
тождество 15, законы де Моргана 4б и
дистрибутивность 3а, получаем в левой
части доказываемого равенства:
Затем при помощи соответствующих
тождеств приведём правую часть равенства
к виду:
Сравнивая полученные выражения в левой и правой частях преобразованного равенства, заключаем, что тождество выполнено.
Пример 2. Упростить следующую систему условий:
Решение. Эти условия по лемме1 равносильны следующим:
Воспользуемся
теперь основными тождествами 1-18 и первое
условие заменим на более простое.
.
По лемме 3 получившиеся три условия
равносильны одному:
Преобразуем левую часть полученного выражения:
Таким образом, система условий равносильна
одному условию:
. Ответ:
.