Указания к выполнению контрольной работы № 4

Тема 1. Функции многих независимых переменных

Для решения задач по этой теме обратите внимание на то, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного аргумента, и если отыскивается, например, частная производная по переменной х, то переменная у считается при этом константой.

Обратите внимание на вычисление производной по заданному направлению и на связь этой производной с градиентом функции.

При исследовании функции z = f(x, y) на экстремум (при условии, что она дважды дифференцируема) пользуйтесь следующими правилами:

1) найдите честные производные функции z = f(x, y) и решите систему уравнений .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Пусть одна из них Р₀ (х₀, у₀).

2) Найдите частные производные второго порядка функции z = f(x, y) и вычислите их значения в точке Р₀ (х₀, у₀).

Положим А = , В = , С = .

3) Вычислите определитель

= АС – В².

Если окажется, что > 0 , то функция z = f(x, y) в точке Р₀ (х_0, у₀) имеет максимум при А < 0 и минимум при А > 0; если же < 0, то в точке Р₀ (х₀, у₀) экстремума нет. Наконец, если же = 0, то вопрос об экстремуме в этой точке остается открытым и требует дополнительного исследования.

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется функция нескольких переменных?

2. Дайте определение непрерывности функции нескольких переменных.

3. Что называется частной производной функции нескольких переменных?

4. Какова геометрическая интерпретация частной производной функции двух аргументов?

5. Что называется полным дифференциалом функции двух аргументов?

6. Как вычисляется производная сложной функции?

7. Как вычисляется производная по направлению и какова её связь с градиентом функции?

8. Сформулируйте правило исследования функции двух переменных на экстремум.

Тема 2. Кратные и криволинейные интегралы

Для решения задач по этой теме необходимо, прежде всего, разобраться в правилах перехода от двойного интеграла по правильной области D к двукратному (повторному) интегралу: если D – правильная область, ограниченная в направлении к оси Оу линиями у=, у=, ( , ), то

.

Обратите внимание на переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Изучите механические приложения двойного интеграла.

При изучении криволинейного интеграла разберитесь в способе его сведения к определенному интегралу по некоторому отрезку.

Изучите условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Вопросы для самопроверки

1. Какая область называется правильной?

2. Как свести двойной интеграл по правильной области к двукратному?

3. Каковы правила перехода в двойном интеграле к полярным координатам?

4. Как вычисляется объем тела с помощью двойного интеграла?

5. Как вычисляется масса и центр тяжести плоской пластины при заданной поверхностной плотности?

6. Какие задачи приводят к понятию криволинейного интеграла?

7. Как вычисляется криволинейный интеграл?

8. Как влияет на значение криволинейного интеграла направление обхода контура интегрирования?

9. Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

10. Какова связь независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования и равенства нулю криволинейного интеграла по любому замкнутому контуру?