Вычисление площади осуществляем по формуле

S = ,

где f₁(x), f₂(x) - кривые, ограничивающие фигуру (f₂(x) f₁(x)).

В нашем случае

.

Рис. 4

В ЗАДАЧАХ 261 – 280 найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох.

261. у = х2 у = -2х + 5 262. у = х2 у = -х +3 263. у = 2х2 у = х2 264. у = х2 у = -3х + 12 265. у = 2х2 у = -3х + 2 266. у = х2 у = -х + 2 267. у = х2 у = -2х + 3 268. у = х2 у = -х + 3 269. у = 3х2 у = -5х +8 270. у = х2 у = -х +2

271. у = х2 у = -х + 6 272. у = х2 у = -2х + 1 273. у = х2 у = -2х + 9 274. у = х2 у = -х + 5 275. у = 2х2 у = -х + 10 276. у = 3х2 у = -х + 7 277. у = х2 у = -5х +7 278. 2у = х2 у = -2х + 5 279. у = х2 у = -3х + 1 280. у = 2х2 у = -4х+ 5

Решение типового примера. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой

у = 8х², прямой у = -6х +14 и осью Ох (рис. 5).

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение 8х² = -6х + 14 или 4х² + 3х – 7 = 0.

Рис. 5

Легко убедиться, что х₁ = -, х₂ = 1. Первому квадранту соответствует корень х₂ = 1.

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение

–6х + 14 = 0, откуда х =.

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при 0 х 1 поверхностью, образованной вращением параболы у = 8х² вокруг оси Ох, а при 1 х - вращением прямой у = -6х + 14.

Искомый объем ищем по формуле

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и .

Отсюда

.

В задачах 281‑290 найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах.

281. 282. 283. 284. 285.

286. 287. 288. 289. 290.

Решение типового примера.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах:

, , .

Решение. Заданная фигура ограничена двумя лучами = 0, = и кривой (рис.6).

Рис. 6

Её площадь равна

.

В задачах 291‑300 найти длину дуги кривой.

291. 292. 293. 294. 295.

296. 297. 298. 299. 300.

Решение типовых примеров.

1. Найти длину дуги кривой ; .

Решение. Длина дуги кривой, заданной в декартовых координатах, вычисляется по формуле

.

У нас

.

Применим подстановку . Тогда и

.

2. Найти длину дуги кривой , 0.

Решение. Для кривой, заданной в полярных координатах, длина дуги вычисляется по формуле

,

поэтому для рассматриваемой кривой имеем

.