Указания к выполнению контрольной работы № 3

Тема 1. Неопределенный интеграл

Прежде чем приступить к интегрированию функций, тщательно изучите таблицу интегралов, простейшие свойства неопределенного интеграла и два простейших метода интегрирования: метод замены переменной и способ подстановки. Успех интегрирования в значительной степени зависит от того, сумеем ли мы подобрать удачную замену переменной упрощающую данный интеграл.

При использовании метода интегрирования по частям очень важно правильно выбрать множители u и dv. Хотя общих правил разбиения подынтегрального выражения на указанные множители нет, тем не менее можно руководствоваться некоторыми частными правилами. Например, если подынтегральная функция представляет собой произведение показательной и ли тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя u следует выбирать многочлен. Если же подынтегральная функция является произведением логарифмической или обратной тригонометрической функции и многочлена, то в качестве множителя u следует выбрать логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

При интегрировании выражения, содержащего в знаменателе квадратный трехчлен, целесообразно привести этот трехчлен к виду с выделенным полным квадратом.

При интегрировании рациональных дробей (в задачах № 221‑240) основная трудность заключается в умении интегрировать правильные рациональные дроби следующих трех типов:

(k – целое положительное число, меньшее, чем 2);

(корни знаменателя невещественные, т.е. p² - 4q < 0).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение первообразной.

2. Каковы основные свойства неопределенного интеграла?

3. Укажите целесообразные подстановки для отыскания интегралов:

, , ,

, , .

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Объясните правило разложения рациональной дроби на простейшие.

Тема 2. Определенный интеграл

При решении задач контрольной работы следует иметь в виду, что для вычисления площади, ограниченной кривыми y = f₁(x), y = f₂(x), (f₁(x) f₂(x)) и прямыми х = а, х = b, следует пользоваться формулой:

.

При этом данная формула остается верной при любых знаках значений функций f₁(x), f₂(x).

При вычислении площади фигуры, ограниченной кривой, уравнение задано в полярных координатах, полезно кривую изобразить в системе координат.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется интегральной суммой данной функции f(x) на данном отрезке [ a, b ]?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла от заданной функции?

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

6. В чем состоит способ подстановки для вычисления определенного интеграла?

7. Как выглядит формула интегрирования по частям для определенного интеграла?

8. Как вычислить площадь криволинейного сектора в полярных координатах?

9. Запишите формулы для вычисления длины дуги кривой в декартовых и в полярных координатах.

10. Приведите формулу для вычисления объема тела с известными площадями его поперечных сечений.

11. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.