Тема 9. Індекси

ТЕОРЕТИЧНІОСНОВИ ТЕМИ

1. ЗАГАЛЬНЕ ПОНЯТТЯ СТАТИСТИЧНИХ ІНДЕК­СІВ

Статистичні індекси  це відносні величини, які одержу­ють у результаті порівняння складних економічних ярищ, утво­рених з різнорідних елементів, що не підлягають безпосереднь­ому підсумовуванню.

За допомогою індексів можна характеризувати зміну як у часі, так і в просторі найрізноманітніших показників: обсягів виробленої продукції, посівних площ, урожайності, цін, вартості та собівартості, продуктивності праці і т. д. їх поділяють на дві групи: до першої належать об'ємні (сумарні) показники (напри­клад, розмір посівних площ, кількість худоби, обсяг продукції та ін.), які виражаються абсолютними величинами; до другої  показники, розраховані на певну одиницю (наприклад, урожай­ність, ціни, собівартість, продуктивність праці і т. д.). Останні умовно можна назвати якісними показниками, і виражаються вони у вигляді середніх величин. Зазначена особливість зумов­лює поділ індексів на індекси кількісних та індекси якісних показників, За допомогою статистичних індексів можна відоб­ражувати зміну у часі і просторі як окремих простих показників (наприклад, обсяг виробництва зерна, молока, м'яса і т. д.), так і однойменних показників по складних сукупностях (наприклад, зміна обсягу виробництва продукції рослинництва, тваринниц­тва, по господарству в цілому і т.д.).

Класифікують індекси за ступенем охоплення елементів до­сліджуваного явища та способом побудови. За ступенем охоп­лення елементів явища індекси поділяють на індивідуальні й загальні.

Індекси, які відображують співвідношення простих одинич­них показників, називають індивідуальними, а індекси, що характеризують зміну певного показника в цілому по будь-якій складній сукупності,  загальними.

За способом побудови загальні індекси поділяють на агре­гатні, середні із індивідуальних та середнього рівня.

Агрегатний індекс розраховують шляхом співвідношення двох сум. При цьому знаходять співмірник для різних елементів складного явища й додають елементи у звітному та базисному періодах, одержуючи відповідні суми.

Середній індекс визначають з індивідуальних індексів ок­ремих елементів.

Індекс середнього рівня знаходять як співвідношення середніх величин поточного і базисного періодів.

Згідно із теоретичними концепціями агрегатні індекси вва­жаються основною формою економічних індексів, а середні із індивідуальних індексів  похідними, які одержують у резуль­таті перетворення агрегатних індексів.

Обчислення загальних індексів, що дають змогу співвід­нести між собою показники за складними сукупностями, являє собою особливий прийом дослідження, який називається ін­дексним методом. За його допомогою можна не тільки вив­чати динаміку показників, а й вимірювати вплив окремих фак­торів на динаміку складного показника. При цьому залежно від завдань аналізу можна фактори вивчати ізольовано, абстрагую­чись від дії інших, або розглядати їх взаємопов'язано.

За допомогою індексного методу вирішуються такі завдан­ня: 1) характеристика загальної зміни складного економічного явища чи окремих його елементів (складових); 2) виділення впливу одного з факторів шляхом елімінування впливу інших; 3) відокремлення впливу зміни структури явища на зміну індек­сованої величини.

Індексний метод має свою термінологію та символіку. її до­тримання є обов'язковою умовою в індексному аналізі. Розгля­немо це питання дещо детальніше.

Для побудови статистичного індексу необхідно мати вихід­ну інформацію, як мінімум, за два періоди. Один з таких пері­одів називається базисним, другий  поточним, Базисний  це період, з яким порівнюють досліджувані явища, поточний  період, що порівнюється. Якщо досліджуються дані за кілька періодів, то один з них (як правило, початковий) буде базис­ним, а решта  поточними, або звітними.

Основними об'єктами для побудови індексних комплексів є кількість і ціна. Кількість позначають латинською літерою q (від лат. “quantitas”); ціну  латинською р (від лат. “pretium”). Ва­жливе значення має підписна нумерація. За її допомогою по­значається період, до якого належать дані. Так, якщо йдеться про кількість продукції за базисний період, то йому відповідає позначення q₀. Відповідно кількість продукції за перший поточ­ний період позначається q₁, за другий поточний  q₂ і т. д. Ана­логічні позначення вводять і для ціни.

Такі об'єкти для побудови індексних комплексів, як посівні площі, урожайність, затрати робочого часу на одиницю продук­ції та собівартість її одиниці, позначають відповідною символі­кою: П, у, t, z.

Виходячи з прийнятих позначень, для різних показників за­писують індивідуальні індекси, які позначають через і. Так, ін­дивідуальний індекс обсягу виражається як і = q₁ : q₀, цін  і = = p₁ : p₀, собівартості одиниці продукції  і = z₁ : z₀. Загальні індекси позначаються символом I і розраховуються дещо склад­ніше.

У теорії індексів показник, зміну якого характеризує індекс, називають індексованою величиною, а пов'язану з нею ве­личину, що використовують як постійну,  елімінованою ве­личиною, або вагою. Остання відіграє роль сумірника. Викори­стання зазначених двох видів величин вважається особливістю індексного методу аналізу.

Слід відзначити, що при побудові статистичних індексів на­самперед необхідно вирішити такі питання: 1) який набір різно­рідних елементів досліджуватиметься; 2) які показники висту­патимуть індексованими величинами; 3) які величини виступа­тимуть сумірниками (вагами). При цьому встановлюють, які до­сліджувані показники при побудові індексів вважаються базис­ними, а які  поточними.

2. ЗАГАЛЬНІ АГРЕГАТНІ ІНДЕКСИ

Щоб розрахувати загальний індекс, необхідно подолати не­сумірність окремих елементів досліджуваної сукупності. Це до­сягається шляхом введення в індекс сумірника (ваги). Побудова формули загального індексу  одне з головних питань теорії ін­дексів.

Агрегатний індекс вважається основною формою загально­го індексу. Його застосовують для вивчення складних суспіль­них явищ, які містять у собі різнойменні елементи. Найбільш типовим загальним індексом кількісних показників є індекс фі­зичного обсягу. Наприклад, є дані про реалізацію різних видів продукції за два періоди. Необхідно за допомогою загального ін­дексу характеризувати зміни обсягу всієї реалізованої продукції. Знаходимо загальний сумірник, який дає змогу виразити у співмірному ви­гляді загальний обсяг продукції в базисному та звітному періо­дах. Таким сумірником можуть бути: ціна (найчастіше), собівартість одиниці продукції, затрати праці на одиницю продукції і т. д.

Використовуючи прийняту символіку, виразимо вартість продукції в базисному і звітному періодах, як q₀p₀ та q₁p₁. По­рівнянням цих двох показників стосовно деякої сукупності реалізованої продукції одержуємо агрегатний індекс товарообороту: I = = q₁p₁ : q₀p₀. Оскільки товарооборот 'залежить від кількості про­дукції та цін, індекс може відобразити зміну обсягу виробниц­тва продукції лише за умови постійності цін на окремі її види.

Побудований за цим принципом індекс називають індек­сом фізичного обсягу, його формула має вигляд: I = q₁p₀ : : q₀p₀ де q₀, q₁  кількість виробленої продукції в базисному і звітному періодах; р₀  ціни, зіставні для двох періодів.

Таким чином, агрегатним індексом називається загаль­ний індекс, одержаний шляхом зіставлення підсумків, які вира­жають величину складного показника у звітному та базисному періодах, за допомогою сумірників (незмінних). Сам спосіб об­числення загального індексу називають агрегатним. Порівнюва­ні суми в агрегатному індексі різняться між собою за індексо­ваними величинами (кількістю продукції), сумірники (ціни) тут незмінні.

Таблиця 9.1.Дані про реалізацію продукції

Продукція	Кількість продукції, шт.		Ціна, грн.		Товарооборот, грн.
	баз.	звіт	баз.	звіт.	Баз.	звіт.	.умовн.
А	200	220	0,85	0,80	170	176	187
Б	50	50	16,00	15,50	800	775	800
В	110	100	1,00	1,20	110	120	100
Разом	х	х	х	Х	1080	1071	1087

Методику обчислення загального агрегатних агрегатних індексів на прикладі даних про реалізацію продукції розглянемо за даними табл. 9.1. Індекс фізичного обсягу одержимо порівнянням варто­сті продукції звітного і базисного років:

, або 100,6%.

Отже, загальний обсяг реалізації продукції збільшився у звітному році порівняно з базисним на 0,6%. Різниця між чи­сельником і знаменником формули характеризує абсолютну змі­ну обсягу товарообороту в поточному періоді. У нашому прикладі ця величина дорівнює 7 грн. (q₁p₀  q₀p₀).

Далі побудуємо загальний агрегатний індекс цін.Його формула така:

, або 98,5%.

В цій формулі індексованою величиною є ціна, а незмінною (вагою) є кількість продукції звітного періоду.

Отже, ціни на реалізовану продукції в поточному році знизились в середньому на 1,5%. Внаслідок цього загальний товарооборот зменшився на 16 грн. (різниці між чисельником і знаменником індекса).

Враховуючи одночасну зміну і кількості продукції і цін реалізації можна встановити зміну загального товарообороту. Для цього обчислимо загальний індекс товорообороту:

, або 99,2%.

Як видно, загальний товарооборот зменшився на 0,8% або на 9 грн.

Розглянуті індекси між собою взаємопов”язані: Іфо * Іц = І т.о. тобто:1,006 * 0,985 = 0,992. Відповідно абсолютні прирости товарообороту теж пов”язані: 7 грн. + (-16)грн. = -9 грн.

Принципи побудови агрегатних індексів для інших економічних показників аналогічні розглянутим вище стосовно агрегатних індексів фізичного обсягу продукції, цін і товарообороту.Вони полягають в наступному: в агрегаті (сумі добутків двох величин) чисельника і знаменника індекса завжди розрізняють “кількісний” і “якісний” показник. Відповідно при побудові загального агрегатного індекса кількісного показника (в нашому прикладі – фізичного обсягу продукції) кількісний показник індексується, а якісний є незмінним і виконує роль співвимірника. При побудові загального агрегатного індекса якісного показника (в нашому прикладі – цін) якісний показник індексується, а кількісний є незмінним і виконує роль ваги.

3. СЕРЕДНІ ІНДЕКСИ

Загальний індекс фізичного обсягу продукції може бути розрахований і як серед­ній із індивідуальних. У такому випадку визначають індивідуаль­ні індекси обсягу по окремих видах продукції: і = q₁ : q₀. 3 одер­жаних індивідуальних індексів розраховують середній.Теж сама можна зробити при обчислені загального індекса цін.

У статистичній практиці середні індекси визначають у фор­мі середньої арифметичної і середньої гармонійної. При цьому кожна з обраних форм повинна прийматися як середня зваже­на, тобто: , де і  індивідуальні індекси ; f і М  ваги відповідно в середньому арифме­тичному та середньому гармонійному індексах.

При визначенні ваг середнього арифметичного і середнього гармонійного індексів виходять із тотожності їх відповідним агрегатним ін­дексам. Так, при обчисленні середнього арифметичного індекса фізичного обсягу продукції повинна виконуватись умова:

.

Остання матиме місце при f = q₀p₀. Дійсно, = iq₀p₀ : q₀p₀ = = (q₁ : q₀)q₀p₀ : q₀p₀.

Отже, середній арифметичний індекс фізичного обсягу продукції обчислюють за формулою:

Середній гармонійний індекс цін обчислюють за формулою:

Обчислимо середні індекси за вихідними даними табл.9.1 і переконаємось, значення відповідних агрегатних та середніх індексів співпадають. Допоміжні розрахунки наведені в табл.9.2.

Таблиця 9.2. Розрахунки до середніх індексів

Продукція	Кількість продукції, шт.		Ціна, грн.		іq	ір	Σіq*q0p0	Σ(q1p1: ір)
	Баз.	Звіт.	Баз.	Звіт.
А	200	220	0,85	0,80	1,10	0,941	187	187
Б	50	50	16,00	15,50	1,00	0,969	800	800
В	110	100	1,00	1,20	0,909	0,909	100	100
Сума	х	Х	х	х	х	х	1087	1087

За даними таблиць 9.1 та 9.2 обчислюємо:

середній арифметичний індекс фізичного обсягу продукції Іф.о.= 1087 :1080 = 1,006;

середній гармонійний індекс цін Іц = 1071 : 1087 = 0,985.

4. ІНДЕКСИ СЕРЕДНЬОГО РІВНЯ

При вивченні динаміки якісних по­казників часто треба визначати зміну середньої величини для будь-якої однорідної сукупності (напри­клад, середньої врожайності зернових культур , середнього надою молока на 1 корову , середньої собі­вартості 1 ц зерна і т. д.).

Відносну величину, що характеризує динаміку двох серед­ніх показників для однорідної сукупності, в статистиці назива­ють середнього рівня. Його також називають індексом змінного складу, оскільки обчислення кожної середньої величини здійснюється за відповідною структурою сукупності. Наприклад, середня урожайність зернових базисного періоду обчислюється з урахуванням структури посіної площі зернових базисного періоду, а середня урожайність зернових звітного періоду обчислюється з урахуванням структури посіної площі зернових звітного періоду. Легко переконатись, що значення середньої урожайності залежить не тільки від урожайності кожної культури, а й від структури площі.

Якщо площу посіву позначити символом “П”, урожайність “у”, то індекс середньої урожайності, матиме вигляд:

Аналогічно за подібною формулою можна обчислювати індекс середнього рівня будь-якого показника.

У загальному вигляді формула індексу змінного складу така:

де  осереднювана ознака;  вага (питома вага) досліджу­ваного явища.

Якщо дослідження має на меті виключити вплив змін стру­ктури сукупності на динаміку середніх показників, розрахо­вують середні для двох періодів по одній і тій самій структу­рі, що, як правило, фіксується по звітному періоду. Індекс, який ві­дображує динаміку середніх величин при фіксованій структурі явища, називається індексом постійного (фіксованого) складу. Він характеризує вплив лише індексованої величини. Його структурна формула має вигляд:

При скороченні в наведеній формулі на одержуємо вже відому формулу агрегатного індексу: У даному індексі вплив структурного фактора виключено. При­кладом таких індексів є індекси цін , індекси собівар­тості та ін.

Відношенням індексів змінного складу до індексу фіксова­ного складу одержують індекс структури: тобто . Таким чином, завжди мо­жна обчислити один з індексів, якщо відомі два інших. Даний індекс характеризує вплив змін структури на зміну серед­ньої величини.

Розглянемо приклад розрахунку зазначених вище індексів за даними таблиці 9.3.

Таблиця 9.3. Розрахунки до індексів середньої урожайності зернових культур

Культура	Площа, га		Урожайність, ц/га		Валовий збір,ц
	Баз.	Звіт.	Баз.	Звіт.	Баз.	Звіт.	Умовн.
Пшениця	50	60	41	40	2050	2400	2460
Кукурудза	40	40	50	50	2000	2000	2000
Гречка	10	5	16	15	160	75	80
Разом	100	105	42,1	42,6	4210	4475	4540

Середня врожайність базисного і звіт­ного періодів становить:

Обчислимо індекси врожайності змінного і постійного скла­ду та їструктури:

Пояснимо результати розрахунків. Індекс урожайнос­ті змінного складу відображує динаміку середньої врожайності. У нашому випадку середня врожайність зернових культур під­вищилася на 1,2 % як за рахунок збільшення врожайності ок­ремих культур, так і за рахунок змін структури посівних площ. Перш ніж визначити вплив на динаміку врожайності змін структури посівних площ (), розраховують індекс урожай­ності фіксованого складу (). Він виключає вплив структу­ри посівних площ. Індекс дорівнює 0,985 і показує, що серед­ня врожайність у звітному періоді порівняно з базисним знизилась на 1,5% за рахунок зростання врожайності окремих культур.

Розбіжність в індексах змінного та постійного складу мож­на пояснити впливом змін структури посівних площ. Величина індексу структури 1,027 показує,що зміна структури площі у звітному році зумовила підвищення середньої врожайності (на 2,7%).

5. ТЕРИТОРІАЛЬНІ ІНДЕКСИ

Як уже згадувалося, статистичні індекси використовують не тільки для дослідження змін явищ і процесів у часі, а й для характеристики змін рівнів соціально-економічних явищ у прос­торі. Зокрема, статистика широко застосовує метод порівняння показників у розрізі підприємств, міст, економічних районів, областей, країн. Узагальнюючі показники, які характеризують співвідношення рівнів складних економічних явищ у просторі, тобто в розрізі територій і об'єктів, називаються територіаль­ними індексами. Побудова територіальних індексів має свої особливості порівняно з індексами, які характеризують динамі­ку явищ. Щодо об­числення індивідуальних територіальних ін­дексів, то тут ніяких труднощів не виникає, адже обчислюють­ся звичайні відносні величини порівняння. Наприклад, якщо по­рівнюється середньорічний надій від однієї корови у двох райо­нах, в першому з яких він дорівнював 4700 кг, а в другому  4300 кг, то зіставленням першого показника з другим одержує­мо територіальний індекс 1,09. По суті, одержано індивідуаль­ний індекс, який показує, що надій у першому районі в 1,09 ра­за вищий, ніж у другому.

При побудові територіальних індексів (індивідуальних і за­гальних) за базу порівняння можуть бути прийняті показники будь-якої із порівнюваних територій. Проте інакше вирішується питання вибору елімінованої величини (ваги), тобто території чи об'єкта, на рівні якого слід зафіксувати вагу індексу. Загаль­ноприйнята схема вибору ваги, розглянута вище, для обчислен­ня індексів динаміки явищ не прийнятна. Адже в територіаль­них індексах порівнюються явища, які істотно різняться між собою за структурою, а тому ваги тут повинні певною мірою нейтралізувати структурні зрушення. Отже, для територіальних індексів методично правильним вважається вибір “стандартизо­ваної” ваги, яка розрахована на базі, наприклад, районної, глу­зевої та інших структур. Крім того, вибір бази порівняння при обчисленні територіальних індексів слід економічно обгґрунтову­вати. Наприклад, якщо порівнюються рівень заробітної плати тваринників спеціалізованих господарств з однаковими умовами виробництва, то за базу слід узяти передове господарство з найвищим рівнем оплати праці тваринників.

Щодо індексованої величини, то в територіальних індексах нею може бути кількісний чи якісний показник. Для останніх індексні комплекси розраховують за схемою індексів змінного та фіксованого складу.

При виборі ваги при побудові територіальних індексів слід виходити насамперед із завдань дослідження та його мети.

Досить просто вирішується питання сумірників при побудо­ві індексів фізичного обсягу. Наприклад, при порівнянні обсягів виробництва продукції у двох областях використовують єдині порівнянні ціни (р). Тоді для областей А і Б територіальний ін­декс обсягу має вигляд: І_ф.о. = q_Ap : q_Áp.

Але якщо просторове порівняння двох областей здійсню­ють із метою визначення, наприклад, різниці у показниках кормомісткості продукції тваринництва (витрати кормів на одиницю продукції), то за вагу слід брати кормомісткість кожного виду тваринницької продукції. Ця вага повинна бути зафіксована на одному й тому ж рівні для обох областей при індексуванні об'ємних показників. Який же показник слід обрати за фіксовану величину? Тут можливі варіанти: а) кормомісткість в області, яка порівнюється; б) кормомісткість в області, яка є базою порівняння; в) середній показник кормомісткості для обох областей; г) осереднений показник для ширшої території.

При побудові територіальних індексів якісних показників також маємо кілька варіантів вирішення питання вибору сумір­ника (ваги): а) обсяг продукції в області, яка порівнюється; б) об­сяг продукції в області, яка є базою порівняння; в) сумарний обсяг продукції двох областей; г) будь-який інший об'ємний по­казник.

Зрозуміло, що індекси, обчислені за наведеними вище ва­ріантами вибору ваг, дадуть різні відповіді. З практичного боку більш об'єктивною слід вважати відповідь за варіантом “а”. Наприклад, при вивченні різниці в цінах реалізації продукції те­риторіальний індекс по областях А і Б для цього варіанта ма­тиме вигляд: I_y = q_Ap_A : q_Àp_Á.

Як бачимо, чисельник цього індексу містить показник фак­тичного, тобто реального, розміру грошової виручки в області А, знаменник  умовний показник виручки при обсязі продукції області А, якщо продукція реалізовувалася за цінами області Б. Отже, додатна різниця між чисельником та знаменником харак­теризує втрати покупців області А, а від'ємна,  навпаки, виг­раш за рахунок різниці в цінах порівняно з областю Б.

За результатами дискусії з питань методології побудови те­риторіальних індексів найбільш прийнятним слід вважати таке розв'язання питань вибору сумірників (ваги). При побудові ін­дексних комплексів із показників інтенсивності доцільно обира­ти сумірником: 1) екстенсивний показник, що стосується терито­рій, на який інтенсивний показник є більш економічним; 2) за­гальну середню величину екстенсивного показника на порівню­ваних територіях, 3) стандартну величину екстенсивного показ­ника.

Якщо територіальні індекси будуються для екстенсивних показників, вагами можуть бути прийняті середні величини ін­тенсивного показника: 1) встановлені для території, прийнятої за стандарт; 2) розраховані для території, по якій здійснюється порівняння.

РОЗРАХУНКОВА РОБОТА

Завдання 1. Обчислити загальні індекси фізичного обсягу продукції, цін та товарообороту за вихідними даними табл.9.4.

Таблиця 9.4.Дані про реалізацію продукції

Назва продукції	Кількість продукції,шт.		Ціна,грн.		Товарооборот,грн.
	q0	q1	p0	p1	q0p0	q1p1	q1p0
	Баз.рік	звіт.рік	баз.рік	звіт.рік	Баз. Рік	звіт.рік	умовний
А	52	60	10	12	520	720	600
Б	65	60	20	23	1300	1380	1200
Сума	Х	Х	Х	Х	1820	2100	1800

Виконання завдання 1.

Допоміжні розрахунки наведені в табл. 9.4.

Загальний індекс фізичного обсягу продукції обчислюють за формулою 9.1.

(9.1)

Загальний індекс цін обчислюють за формулою 9.2

(9.2)

Загальний індекс товарообороту обчислюють за формулою 9.3

(9.3)

Висновок: загальний фізичний обсяг реалізованої продукції у звітному році зменшився на 1,1%, ціни реалізації в середньому підвищились на 16,67%, а загальний товарооборот збільшився на 15,38%.

Завдання 2.Обчислити індекси середньої урожайності за даними табл.9.5

Таблиця 9.5. Дані про виробництво зерна

Культура	Площа,га		Урожайність,ц/га		Валовий збір, ц
	П0	П1	У0	У1	У0П0	У1П1	У0П1
	Баз.рік	звіт.рік	баз.рік	звіт.рік	Баз.рік	звіт.рік	умовний
Оз.пшениця	210	145	31	34	6510	4930	4495
Кукурудза	150	220	45	44	6750	9680	9900
Овес	60	60	15	12	900	720	900
Разом	420	425	33,7	36,1	14160	15330	15295

Виконання завдання 2 .

Допоміжні розрахунки наведені в табл.9.5.

Індекс середньої урожайності (змінного складу):

Середня урожайність в звітному році підвищилась на 7,1% або на 2,4 ц/га.

Індекс урожайності фіксованого складу:

За рахунок зміни урожайності окремих культур середня урожайність підвищилась на 0,3% або на 0,1 ц/га.

Індекс структури дорівнює:

За рахунок зміни структури площі середня урожайність підвищилась на 6,8% або на 2,3 ц/га.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Завдання 1. Обчислити загальні індекси фізичного обсягу продукції, цін та товарообороту за вихідними даними табл.9.6.

Таблиця 9.6.Дані про реалізацію продукції

Назва продукції	Кількість продукції,шт.		Ціна,грн.
	баз.рік	звіт.рік	Баз.рік	звіт.рік
А	150	160	10	12
Б	650	560	20	23
В	210	240	18	20
Г	80	100	35	33
Д	90	90	12	10
Є	30	25	5	4

Завдання 2.Обчислити індекси середньої урожайності за даними табл.9.7

Таблиця 9.7. Дані про виробництво зерна

Культура	Площа,га		Урожайність,ц/га
	П0	П1	У0	У1
	баз.рік	звіт.рік	Баз.рік	звіт.рік
Оз.пшениця	210	145	31	34
Кукурудза	150	220	45	44
Овес	60	60	15	12
Горох	80	90	26	25
Просо	40	50	14	15
Гречка	30	20	12	14