5. Статистика електронів і іонів у димовій плазмі

Стан компонентів низькотемпературної плазми описується за допомогою статистичних методів, що дозволяють установити середні значення їх концентрацій у просторі і часі.

Розподіл електронів і іонів у низькотемпературній плазмі описується рівнянням Максвелла-Больцмана, що є наслідком розподілу Фермі-Дірака для системи з невиродженими станами. Такий розподіл справедливий тільки для плазми, що знаходиться в рівноважному стані. Плазма з конденсованою дисперсною фазою в стані термодинамічної рівноваги містить електрони і іони, концентрації яких не рівні один одному внаслідок відволікання частини заряду на поверхні конденсованих часток. Тому в плазмі з порушенням концентраційної рівноваги розподіл вільних і зв'язаних електронів не може бути описаний єдиною функцією. Незважаючи на це, рівноважні співвідношення з єдиною функцією розподілу використовуються для розрахунку концентрацій електронів і іонів у плазмі з конденсованою дисперсною фазою, газова фаза якої має об'ємний заряд. Це не дозволяє побудувати адекватну теоретичну модель плазми з конденсованою дисперсною фазою і пояснити її деякі специфічні ефекти, наприклад, дальнодіючі взаємодії між зарядженими частками.

В термодинамічно рівноважній газовій плазмі, що містить одноразово заряджені позитивні іони, електрони і атоми, розподіл компонентів описується рівнянням Саха:

, (5.1)

де , , - середні значення концентрації електронів, іонів і атомів, , - статистичні ваги іона й атома, - потенціал іонізації ізольованого атома, - константа Саха. Індекс нуль означає, що плазма не містить димових часток і в будь-якій області плазми виконується умова електронейтральності:

, (5.2)

де визначимо як необурену концентрацію компонентів.

Міжфазна взаємодія в димовій плазмі приводить до зміни кількості електронів і іонів у газовій фазі, тому що частки конденсованої фази можуть випромінювати і поглинати електрони, а також є центрами іонізації атомів і рекомбінації іонів. У цьому випадку для середніх значень концентрації справедлива умова:

, (5.3)

де - середнє зарядове число конденсованих часток, - концентрація конденсованих часток.

Таким чином, при порушенні рівноваги між концентраціями електронів і іонів у газовій фазі плазми застосування рівняння Саха (5.1) виявляється неможливим, тому що воно засновано на вираженні (5.2), що вже не виконується. Отже, для опису іонізаційної рівноваги в димовій плазмі, коли виконується умова (5.3), не може бути використана єдина функція розподілу по енергіям для вільних і зв'язаних електронів (електронів і іонів). Для рішення проблеми можливо застосувати модель Шоклі аналогічно тому, як це було зроблено у фізиці напівпровідників, або зробити розрахунок великої статистичної суми по станах вільних і зв'язаних електронів.

У стані термодинамічної рівноваги в низькотемпературній плазмі при заданій температурі існує деякий розподіл електронів по квантових станах, що підкоряється статистиці Фермі-Дірака. Однак при невисокій температурі плазми ми можемо скористатися спрощеною функцією розподілу Максвелла-Больцмана. У цьому випадку імовірність того, що електрон буде знаходитися в квантовому стані з енергією , визначається вираженням:

, (5.4)

де - рівень електрохімічного потенціалу (рівень Фермі плазми), що в нашому випадку можна представити у виді суми хімічного потенціалу електронів і енергії електрона в електричному полі:

. (5.5)

Енергію електрона знайдемо з вираження:

,

де - квазіімпульс електрона, - мінімальна енергія вільного електрона. У необуреній області плазми .

Середнє значення електростатичного потенціалу являє собою суму потенціалу плазми і власне середнього значення функції , що є рішенням рівняння Пуассона – Больцмана:

Потенціал плазми характеризує величину роботи, яку необхідно зробити, щоб плазма придбала деякий об'ємний заряд.

Інтегруванням по всіх станах електрона, з (5.4) одержуємо концентрацію електронів:

, (5.6)

де - ефективна щільність станів електронів.

Для концентрації іонів справедливо наступне вираження:

. (5.3.7)

Останнє вираження справедливе тільки для електронейтральної плазми. Як уже відзначалося, існування об'ємного заряду не дозволяє описати електрони й іони єдиною функцією розподілу (5.4).

Для опису нерівноважних по концентрації компонентів систем у фізиці напівпровідників застосовується модель Шоклі, що припускає формальне використання різних рівнів електрохімічного потенціалу для різних підсистем. Згідно цієї моделі, введемо два рівні електрохімічного потенціалу:

- для підсистеми електронів,

- для підсистеми іонів.

Відзначимо, що це дійсно рівень електрохімічного потенціалу, що збігає з тим, що записаний у (5.4), тоді як - формальний параметр, що показує, який міг бути рівень електрохімічного потенціалу, якби концентрація електронів дорівнювала дійсній концентрації іонів.

Різниця

(5.8)

іллюструє нерівноважний характер плазми, а саме той факт, що повна кількість електронів не дорівнює повній кількості іонів у системі, тобто існує об'ємний заряд плазми.

Фактично пропонується ввести дві функції розподілу вільних і зв'язаних електронів:

– для підсистеми електронів і

- для підсистеми іонів.

Наявність об'ємного заряду означає існування деякого середнього значення потенціалу, що визначає мінімальне значення енергетичного спектра вільних електронів . При цьому для підсистеми електронів залишаються справедливими вираження (5.5) і (5.6).

Для підсистеми іонів формальне значення відповідає квазінейтральному стану плазми при даному значенні , отже

і хімічний потенціал електронів . Тоді концентрацію іонів можна представити у вигляді:

.

Для концентрації іонів у нерівноважній плазмі замість співвідношення (5.7) варто застосовувати вираження:

. (5.9)

Таким чином, використання моделі Шоклі дозволяє узагальнити співвідношення статистики на нерівноважні стани плазми. Дійсно, якщо об'ємний заряд відсутній тобто = , то параметр нерівноважності =0 і вираження (5.9) перетворюється в (5.7).

Перемноживши концентрації електронів (5.6) і іонів (5.7) для електронейтральної плазми одержимо відому формулу Саха (5.1). При наявності об'ємного заряду плазми для концентрації іонів варто використовувати (5.9), звідкіля одержимо вираження:

. (5.10)

Таким чином, вираження (5.10) дозволяє визначити квазірівноважні концентрації зарядів шляхом введення ефективного потенціалу іонізації, що залежить від параметра нерівноважності .