Задачи и упражнения
1. Найти приращение функции в произвольной точке , если приращение аргумента :
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
.
2. Используя определение производной функции, найти производные функций в произвольной точке :
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
.
3. Используя основные правила нахождения производных и таблицу производных, найти производные следующих функций:
3.1.
;
3.2.
;
3.3.
;
3.4.
;
3.5.
;
3.6.
;
3.7.
;
3.8.
;
3.9.
;
3.10.
;
3.11.
;
3.12.
;
3.13.
;
3.14.
;
3.15.
;
3.16.
;
3.17.
;
3.18.
;
3.19.
;
3.20.
;
3.21.
;
3.22.
;
3.23.
;
3.24.
;
3.25.
;
3.26.
;
3.27.
;
3.28.
;
3.29.
;
3.30.
.
4. Найти
значение производной
функции,
заданной неявно,
в точке
:
4.1.
;
;
4.2.
;
.
5. Найти
дифференциал
функции
в точке с абсциссой
:
5.1.
;
5.2.
;
5.3.
;
5.4.
.
6. Найти производные второго порядка от следующих функций:
6.1.
;
6.2.
;
6.3.
;
6.4.
.
7. Найти
дифференциал второго порядка
функции
в точке с абсциссой
:
7.1.
;
7.2.
,
;
7.3.
.
8. Составить
уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой
.
Построить в плоскости
кривую и касательную к ней.
8.1.
;
8.2.
;
8.3.
;
8.4.
;
8.5.
;
8.6.
.
9.
Используя
дифференциал первого порядка, найти
приближенное значение функции
в точке
.
9.1.
,
;
9.2.
;
9.3.
;
9.4.
.
10. Вычислить пределы функций, используя правило Лопиталя.
10.1.
;
10.2.
;
10.3.
;
10.4.
.
11. Исследовать
функцию
на
монотонность и экстремумы.
11.1.
;
11.2.
;
11.3.
;
11.4.
;
11.5.
;
11.6.
;
11.7.
;
11.8.
;
11.9.
;
11.10.
;
11.11.
.
12. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз, точки перегиба графиков функций.
12.1.
;
12.2.
;
12.3.
;
12.4.
.
13. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. Решение проиллюстрировать графиком.
13.1.
;
13.2.
;
13.3.
;
13.4.
.
14. Разложить
многочлен
по натуральным степеням двучлена
по формуле Тейлора.
15.
Представить функцию
многочленом Тейлора второй степени в
окрестности
точки
.
16.
Представить функцию
многочленом Тейлора второй степени в
окрестности точки
.
Построить в одной системе координат
график данной функции и график полученного
многочлена Тейлора.
17. Провести полное исследование и построить графики следующих функций:
17.1.
;
17.2.
;
17.3.
;
17.4.
;
17.5.
;
17.6.
;
17.7.
;
17.8.
;
17.9.
;
17.10.
;
17.11.
;
17.12.
;
17.13.
;
17.14.
;
17.15.
;
17.16.
.
ОТВЕТЫ к задачам и упражнениям по теме «Производная»
1.1.
;
1.2.
;
1.3.
;
1.4.
;
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
;
3.1.
;
3.2.
;
3.3.
;
3.4.
;
3.5.
;
3.6.
;
3.7.
;
3.8.
;
3.9.
;
3.10.
;
3.11.
;
3.12.
;
3.13.
;
3.14.
;
3.15.
;
3.16.
;
3.17.
;
3.18.
;
3.19.
;
3.20.
;
3.21.
;
3.22.
;
3.23.
;
3.24.
;
3.25.
;
3.26.
;
3.27.
;
3.28.
;
3.29.
;
3.30.
;
4.1.
;
4.2.
;
5.1.
;
5.2.
;
5.3.
;
5.4.
;
6.1.
;
6.2.
;
6.3.
;
6.4.
;
7.1.
;
7.2.
;
7.3.
;
8.1.
;
8.2.
;
8.3.
;
8.4.
;
8.5.
;
8.6.
;
9.1.
;
9.2.
;
9.3.
;
9.4.
;
10.1.
;
10.2. 0; 10.3.
;
10.4. 2;
11.1. возрастает
на
;
убывает на
;
11.2. возрастает
на
;
убывает на
;
;
11.3. возр.
на
;
убыв, на
;
11.4.
возрастает на
;
убывает на
;
11.5. убывает
на
;
экстремумов нет; 11.6.
возрастает
на
;
убывает на
;
;
11.7. убывает
на
;
экстремумов нет; 11.8.
возр. на
;
убыв. на
;
экстремумов нет; 11.9.
возрастает
на
;
экстремумов нет;
11.10. возрастает
на
;
убывает на
;
;
11.11. возрастает
на
;
убывает на
;
;
12.1. график
функции направлен выпуклостью вверх
на
;
выпуклостью вниз на
;
точка перегиба
;
12.2. график
функции направлен выпуклостью вверх
на
;
выпуклостью вниз на
;
точка перегиба
;
точка перегиба
;
12.3. график
функции направлен выпуклостью вверх
на
;
выпуклостью вниз на
;
точек перегиба
нет;
12.4. график
функции направлен выпуклостью вверх
на
;
точек перегиба
нет;
13.1.
;
13.2.
;
13.3.
;
13.4.
;
14.
;
15.
16.
.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ по теме «Производная»
1. Используя
определение производной функции, найти
производную функции
в
точке
,
(
-
произвольная точка области определе -
ния функции).
2. Используя основные правила нахождения производных и таблицу производных, найти производные следующих функций:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
.
3. Найти дифференциал первого и второго порядка
функции
в точке
.
4. Составить
уравнение касательной к графику функции
в точке
.
Построить в плоскости
кривую и касательную к ней.
5. Используя
дифференциал первого порядка, найти
приближенное значение
.
6. Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя.
6.1.
;
6.2.
.
7. Исследовать
функцию
на монотонность и экстремумы.
8. Найти
интервалы выпуклости вверх, выпуклости
вниз и точки перегиба функции
.
9. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
10. Представить
функцию
многочленом Тейлора второй степени в
окрестности точки
.
Построить в одной системе координат
график данной функции и график полученного
многочлена Тейлора.
11. Провести полное исследование функции и построить ее график.
11.1.
;
11.2.
;
11.3.
.
ОТВЕТЫ к контрольному заданию по теме «Производная»
1.
;
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.1. 0,75;
6.2. 1;
7. возрастает
на
;
убывает на
;
;
8. график
функции направлен выпуклостью вверх
на
;
выпуклостью
вниз на
;
точка перегиба
;
9.
;
;
10.
.
ТЕСТ по теме «Производная»
К каждому их предложенных ниже заданий дано четыре варианта ответов. Один из предложенных ответов – правильный.
Выбрать правильный ответ.
В заданиях 1; 2 найти производную функции:
1.
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2.
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
В заданиях 3;
4 найти
значение производной функции
в точке
:
3.
в точке
.
Варианты ответов:
а) 1;
б)
;
в)
;
г)
2.
4.
в точке
.
Варианты ответов:
а) 0,2;
б)
1; в)
1,2; г)
.
5. Найти
дифференциал функции
в точке
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
0; г)
не существует.
6. Составить
уравнение касательной к графику функции
в точке
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7. Найти
интервалы, на которых функция
монотонно убывает.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8. Найти
абсциссу точки максимума функции
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
1;
г)
.
9.
При каком значении параметра а график
функции
имеет перегиб при
?
Варианты ответов:
а)
;
б)
3;
в) 2;
г)
.
В заданиях 10; 11 вычислить предел функции, используя правило Лопиталя:
10.
.
Варианты ответов:
а)
;
б)
;
в)
0;
г)
.
11.
.
Варианты ответов:
а) 1;
б)
;
в)
;
г)
5.
Правильный ответ:
1.
;
2.
;
3.
;
4. 1,2;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
1.