Задачи и упражнения

1. Найти область определения функции:

1.1. ; 1.2. ; 1.3. ;

1.4. ; 1.5. ; 1.6. ;

1.7. ; 1.8. ; 1.9. ;

1.10. ; 1.11. .

2. Написать первые четыре члена числовой последовательности, заданной уравнением:

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ;

2.4. ; 2.5. .

3.Найти предел последовательности (найти предел функции, определенной на множестве натуральных чисел):

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ;

3.4. ; 3.5. ;

3.6. ; 3.7. .

4. Найти предел функции:

4.1. ; 4.2. ; 4.3. ;

4.4. ; 4.5. ; 4.6. ;

4.7. ; 4.8. ; 4.9. ;

4.10. ; 4.11. ; 4.12. ;

4.13. ; 4.14. ; 4.15. ;

4.16. ; 4.17. ; 4.18. ;

4.19. ; 4.20. ; 4.21. ;

4.22. ; 4.23. ; 4.24. ;

4.25. ; 4.26.; 4.27.;

4.28. ; 4.29.; 4.30.;

4.31. ; 4.32.; 4.33.;

4.34. ; 4.35. .

5. Найти односторонние пределы функции в точке :

5.1. ; 5.2. ;

5.3. ; 5.4. ;

5.5. ; 5.6. .

6. Найти асимптоты кривых:

6.1. ; 6.2. ; 6.3. ;

6.4. ; 6.5. ; 6.6. .

7. Найти точки разрыва функций и указать какого они рода:

7.1. ; 7.2. ; 7.3. ;

7.4. ; 7.5. ; 7.6. ;

7.7. ; 7.8. .

8. Используя метод замены бесконечно малых функций

эквивалентными функциями, найти пределы:

8.1. ; 8.2. ; 8.3. ;

8.4. ; 8.5. ; 8.6. .

9. Доказать непрерывность функций:

9.1. ; 9.2. ; 9.3. ; 9.4. .

ОТВЕТЫ к задачам темы «Основы теории пределов»

1.1. ; 1.2. ;

1.3. ; 1.4. ;

1.5. ; 1.6.; 1.7. ; 1.8. ;

1.9. ; 1.10. ; 1.11. ;

2.1. ; 2.2. ; 2.3. ; 2.4.;

2.5. ;

3.1. 0; 3.2. 2; 3.3. 2,5; 3.4. 0; 3.5. 0,5; 3.6. 0.5; 3.7. 0,01;

4.1. ; 4.2. ; 4.3. 0; 4.4. ; 4.5. ; 4.6. ; 4.7. 0;

4.8. 0; 4.9. 1; 4.10. ; 4.11. 3; 4.12. 1; 4.13. ; 4.14. ;

4.15. ; 4.16. ; 4.17. 0; 4.18. 2; 4.19. ; 4.20. 10; 4.21. ; 4.22. 0; 4.23. 4; 4.24. 5; 4.25. 0; 4.26. ; 4.27. ; 4.28. ; 4.29. ;

4.30. 0; 4.31. ; 4.32. 0; 4.33. ; 4.34. 1; 4.35. ;

5.1. предел слева равен пределу справа и равен ; 5.2. предел слева равен ; предел справа равен ; 5.3. предел слева равен пределу справа и равен ; 5.4. предел слева равен пределу справа и равен 1; 5.5. предел слева равен ; предел справа равен 1; 5.6. предел слева равен 0; предел справа равен ;

6.1. ; 6.2. ;

6.3. ; 6.4. ;

6.5. вертикальных асимптот нет; горизонтальная асимптота ;

6.6. ;

7.1. точка разрыва 1 рода; точка разрыва 2 рода; 7.2. точка разрыва 1 рода; 7.3. точка разрыва 2 рода; 7.4. точка разрыва 1 рода; 7.5. точка разрыва 1 рода; 7.6. точка разрыва 1 рода; 7.7. точка разрыва 1 рода; 7.8. точка разрыва 2 рода;

8.1. 0,6; 8.2. ; 8.3. 55; 8.4. ; 8.5. ; 8.6. 2.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ по теме «Основы теории пределов»

1. Найти область определения функции:

1.1. ; 1.2. .

В заданиях 2; 3; 4; 5; 6;7; 8; 9; 10; 11; 12; 13 найти пределы функций:

2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. ; 13..

14. Найти односторонние пределы функции:

14.1. в точке ; 14.2. в точке .

15. Найти точки разрыва функции и указать, какого они рода:

15.1. ; 15.2. .

16. Найти асимптоты кривой :

16.1. ; 16.2. .

17. Используя метод замены бесконечно малой функции эквивалентной функцией, найти:

17.1. ; 17.2. .

ОТВЕТЫ к контрольному заданию по теме «Основы теории пределов»

1.1. ; 1.2. ; 2. 3; 3. ; 4. 1; 5. ; 6. ; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. 2; 14.1. предел слева равен ; предел справа равен 1; 14.2. предел слева равен пределу справа и равен ;

15.1. точка разрыва второго рода; 15.2. точка разрыва первого рода; 16.1. ; ; 16.2. ; ; 17.1. ; 17.2. 4,5.

ТЕСТ по теме «Основы теории пределов»

К каждому их предложенных ниже заданий дано четыре варианта ответов. Один из предложенных ответов – правильный.

Выбрать правильный ответ.

В заданиях 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 найти предел функции:

1. .

Варианты ответов: а) 1,5; б) 2; в) ; г) .

2. .

Варианты ответов: а) 1; б) 2; в) ; г) .

3. .

Варианты ответов: а) 0; б) 2; в) ; г) .

4. .

Варианты ответов: а) 0; б) 0,5; в) 2; г) .

5. .

Варианты ответов: а) ; б) 1; в) 0; г) .

6. .

Варианты ответов: а) ; б) 0,2; в) 0,4; г) 0,5.

7. .

Варианты ответов: а) 0; б) ; в) 3; г) .

8. .

Варианты ответов: а) 1; б) ; в) ; г) .

9. .

Варианты ответов: а) 3; б) ; в) ; г) .

10. Найти односторонние пределы функции в точке .

Варианты ответов:

а) предел слева равен 0, предел справа равен 1;

б) предел слева равен 0; предел справа равен ;

в) предел слева равен 0; предел справа равен 0,5;

г) предел слева равен 1; предел справа равен 2.

11. Найти асимптоты графика функции .

Варианты ответов:

а) и ; б) и ;

в) и ; г) и .

Правильный ответ:

1. 2; 2. ; 3. 0; 4. 2; 5. ; 6. 0,2; 7. 0,75; 8. ; 9. ;

10. 0 и ; 11. и .

МОДУЛЬ №2

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

• Определение производной; ее геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.

• Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

• Производная суммы, разности, произведения, частного функций.

• Производная сложной и обратной функции.

• Производные основных элементарных функций. Табличное дифференцирование.

• Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

• Производные высших порядков.

• Дифференциал функции: понятие дифференциала функции; геометрический смысл дифференциала функции; применение дифференциала к приближенным вычислениям.

• Дифференциалы высших порядков.

• Исследование функций при помощи производных: правило Лопиталя; возрастание и убывание функций; максимум и минимум функций; наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке; выпуклость графика функции; точки перегиба; асимптоты графика функции; полное исследование функции и построение графика.

• Формула Тейлора.