4. Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).
Пусть проводится
n
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может произойти с одной и той же
вероятностью p.
Тогда относительная частота p*
появлений события A
в серии из n
испытаний принимается в качестве
точечной оценки для вероятности p
появления события в каждом испытании.
При этом величину p*
называют выборочной
долей появлений
события A,
а p
– генеральной
долей.
Доверительный интервал для генеральной
доли имеет границы
.
При n > 30 предельная ошибка:
(повторная
выборка)
,
(бесповторная выборка)
При
:
по таблице распределения Стьюдента
(двусторонняя область) и
(повторная
выборка),
(бесповторная
выборка).
Пример. С помощью случайного повторного отбора руководство фирмы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных оказалось 270 женщин. Постройте доверительный интервал, с вероятностью 0,97 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.
Решение.
По условию
= 0.97, n
= 900, m
= 270, значит, выборочная доля равна:
(относительная частота женщин среди
опрошенных).
Так как отбор
является повторным и объем выборки
велик (n
= 900), предельная ошибка выборки определяется
по формуле
Искомый доверительный интервал имеет границы
Ответ. С вероятностью 0,97 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0,27 до 0,33.
Или: С вероятностью 0,97 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 27% до 33%.◄
Пример. Владелец автостоянки считает день «удачным», если автостоянка заполнена более, чем на 80%. В течение года было проведено 40 проверок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0,98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.
Решение.
По условию задачи n
= 40, m
= 24, N
= 365,
= 0,98. Тогда
Предельную ошибку найдем по формуле
,
так как выборка бесповторная (в один
день две проверки не проводилось):
Искомый доверительный интервал имеет границы
.
Ответ. С вероятностью 0,98 можно утверждать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0,49 до 0,71
(от 49% до 71%).◄
Вопросы для самопроверки
1. В чем сущность задачи по определению параметров генеральной совокупности? В чем особенности этой задачи?
2. Как вычисляется средняя арифметическая выборки при малом и больших объемах ее?
3. Как вычисляется дисперсия выборки в случаях малого и большого объема ее?
4. Какая величина принимается за среднюю генеральной совокупности, а какая — за дисперсию?
5 Что понимается под доверительным интервалом и доверительной вероятностью?
6. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение средней выборки?
7. Назовите выборочные числовые характеристики.
8. Что такое статистики и для чего они служат?
9. Какими свойствами должны обладать оценки?
10. Какова вероятность попадания генеральной средней в интервал размером ±2(+3) средних квадратических отклонений средней выборки при нормальном распределении.
11. Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?
Дайте общую схему построения доверительного интервала.
12. Как изменяется доверительный интервал с увеличением надежности? С увеличением объема выборки?
13. Как изменяется доверительный интервал в зависимости от того, известны ли другие параметры точно или нет?
14. Если доверительная вероятность будет увеличена, то как изменится доверительный интервал при других равных условиях.
15. Что надо сделать с объемом выборки, чтобы уменьшить доверительный интервал при том же значении доверительной вероятности?