- •1. Выборка. Основные характеристики.
- •1. 1. Способы первичной обработки выборки
- •1. 2. Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма
- •1.3. Статистические оценки параметров
- •1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания
- •3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
- •4. Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).
- •2. Элементы теории корреляции
- •2.1. Линейная корреляция
- •2.2. Определение параметров функциональной зависимости
- •3. Статистическая проверка гипотез
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Критерий для проверки гипотезы
- •3.3. Сравнение двух вероятностей
- •3.4. Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании.
- •3.5. Сравнение двух средних генеральных совокупностей
- •3.6. Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.
- •3.7. Приближенный метод проверки нормальности распределения,
- •3.8.Проверка гипотезы о генеральной доле
- •3.9. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •3.10. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Критерий Колмогорова.
- •Критерий Пирсона.
- •3.11. Проверка гипотезы о равенстве нулю генерального
- •4. Применение в математической статистике
3.9. Проверка гипотезы о значимости выборочного
коэффициента корреляции
Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции rB ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:
Ho: rГ = 0 при конкурирующей гипотезе Н1: rГ ≠ 0. Критерием является случайная величина
,
имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конкурирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T| > tкр, где tкр(α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.
Пример. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распреде-ленной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции rB = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Ho: rГ = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н1: rГ ≠ 0.
Критическая точка tкр(0,01; 150) = 2,58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |Tнабл | > tкр, нулевая гипотеза отвергается, то есть Х и Y коррелированны.
3.10. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Критерий Колмогорова.
Ранее рассматривались гипотезы, в которых закон распределения генеральной совокупности предполагался известным. Теперь займемся проверкой гипотез о предполагаемом законе неизвестного распределения, то есть будем проверять нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по некоторому известному закону. Обычно статистические критерии для проверки таких гипотез называются критериями согласия.
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Это численная мера расхождения между эмпирическим и теоретическим распределением.
Основная задача. Дано эмпирическое распределение (выборка). Сделать предположение (выдвинуть гипотезу) о виде теоретического распределения и проверить выдвинутую гипотезу на заданном уровне значимости α.
Решение основной задачи состоит из двух частей:
-
Выдвижение гипотезы.
-
Проверка гипотезы на заданном уровне значимости.
Рассмотрим подробно эти части.
1. Выбор гипотезы о виде теоретического распределения удобно делать с помощью полигонов или гистограмм частот. Сравнивают эмпирический полигон (или гистограмму) с известными законами распределения и выбирают наиболее подходящий.
Приведём графики важнейших законов распределения:
Примеры эмпирических законов распределения приведены на рисунках:
а) б) в)
В случае (а) выдвигается гипотеза о нормальном распределении, в случае (б) — гипотеза о равномерном распределении, в случае (в) — гипотеза о распределении Пуассона.
Основанием для выдвижения гипотезы о теоретическом распределении могут быть теоретические предпосылки о характере изменения признака. Например, выполнение условий теоремы Ляпунова позволяет сделать гипотезу о нормальном распределении. Равенство средней и дисперсии наводит на гипотезу о распределении Пуассона.
На практике чаще всего приходится встречаться с нормальным распределением, поэтому в наших задачах требуется проверить только гипотезу о нормальном распределении.
Проверка гипотезы о теоретическом распределении отвечает на вопрос: можно ли считать расхождение между предполагаемыми теоретическим и эмпирическим распределениями случайным, несущественным, объясняемым случайностью попадания в выборку тех или иных объектов, или же это расхождение говорит о существенном расхождении между распределениями. Для проверки существуют различные методы (критерии согласия) — 2 (хи-квадрат), Колмогорова, Романовского и др.