1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известной дисперсии. Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х₁, х₂,…, х_п как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_п, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М() = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р () = 2Ф. Тогда , с учетом того, что , р () = 2Ф==2Ф( t ), где . Отсюда , и предыдущее равенство можно переписать так:

. (1)

Итак, если известно среднее квадратическое отклонение σ случайной величины, то доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:

где а – оцениваемое математическое ожидание, х_В – выборочное среднее, п – объем выборки, t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф (t), при котором

Пример. Найдем доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если объем выборки п = 49, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45: t = 1,645. Тогда

, или 2,471 < a < 3,129. Найден доверительный интервал, в который попадает а с надежностью 0,9.◄

Пример. В ходе обследования банковских счетов была проведена случайная выборка записей по вкладам. Из выборки n=100 оказалось, что средний размер вклада составляет 1 837 д.е.; генеральное среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 280 д.е. Найти с надёжностью =0,95 доверительный интервал для среднего размера а вкладов по всем счетам, если известно, что размер вкладов распределён по нормальному закону.

По условию =1837; n=100; =280; =0,95. По таблице значений функции находим t из условия Ф(t)=, получаем t=1,96. Находим доверительный интервал:

,

,

.

Это означает, что с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что средний размер вклада в генеральной совокупности находится в пределах от 1 782,12 д.е. до 1 891,88 д.е. Интервал ±54,88 составляет примерно ±3% среднего размера вклада в выборке (1 837). Это не очень большое отклонение, поэтому среднее значение выборки можно считать надёжной оценкой среднего значения генеральной совокупности. ◄

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при неизвестной дисперсии. Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (2)

где - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента , где , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- t_γ , t_γ ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: . Отсюда получаем:

(3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где t_γ можно найти по соответствующей таблице при заданных п и γ. Итак, при неизвестном среднем квадратическом отклонении доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности γ задается соотношением:

Здесь s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а критическая точка распределения Стьюдента, значение которой можно найти из таблиц по известным п и γ.

Пример. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при доверительной вероятности (надежности), равной , если выборочное среднее , среднее квадратическое отклонение , а объем выборки .

Доверительный интервал для математического ожидания при нормальном распределении равен:

,

где - выборочное среднее, - среднее квадратическое отклонение, - объем выборки, , - затабулированная функция Лапласа.

Так как , из соотношения получаем и с помощью таблиц находим . Тогда и .◄

Пример. Пусть объем выборки п = 25, = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99. Из таблицы находим, что t_γ (п = 25, γ = 0,99) = 2,797. Тогда , или 2,161< a < 3,839 – доверительный интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99. ◄