Элементы теории графов.
Теория графов – редкий раздел математики, о котором доподлинно известно, когда он родился и кто был его основоположником. Понятие графа было введено Леонардом Эйлером в 1736 году в Санкт-Петербурге в работе, посвященной задаче о Кенигсбергских мостах. Город был расположен на берегах и двух островах реки. Острова и берега реки были связаны между собой семью мостами. Требовалось ответить на вопрос: можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту ровно один раз.
a
Река 
c
b
d
Следующий шаг в развитии теории графов принадлежит Кирхгофу, применившему теорию графов к теории электрических цепей. Сам термин «граф» на 200 лет моложе самой теории. Он введен в 1936 году венгерским математиком Кенигом.
Графы бывают двух видов – ориентированные и неориентированные. Мы будем, в основном, рассматривать ориентированные графы (орграфы, графы).
Графом G
называется совокупность двух
множеств: вершин V и ребер E,
между элементами которых определено
отношение инцидентности: каждому
ребру e
поставлена в соответствие пара вершин
(u, v)
(
ребро е инцидентно вершинам u
и v).
Граф обозначается G=(V,
E).
Ориентированные ребра называются дугами.
Граф, содержащий направленные ребра, называется орграфом.
Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными или кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.
Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если множество его вершин V (а значит и ребер (V)) пусто.
Две вершины называются смежными, если существует хотя бы одно ребро их соединяющее.
Граф изображается в виде диаграммы, на которой вершины изображаются точками, а ребра, соединяющие две вершины, - линиями между этими точками (если граф ориентированный, то на ребре ставят стрелку).
Степенью вершины v называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Вершина степени 0 называется изолированной.
Теорема.
Сумма степеней вершин графа всегда четная и равна 2∙ |E| (удвоенной мощности множества (Е)). (Считается, что вклад петли в степень вершины равен 2).
Граф называется связным, если двигаясь по ребрам, можно из любой его вершины попасть в любую другую.
e1
v1 v2 v2 v3
h
e2
v1 v2
e3
v3 v4 v1 v4
неограф без петель. орграф без петель мультиграф с тремя параллельными
ребрами и петлей
Матрицы графов.
Во многих задачах графы удобно задавать матрицами. Пусть граф G=(V, E) – граф c n вершинами и m ребрами, причем вершины и ребра занумерованы.
Матрицей
инцидентности называется матрица
A(G)
размера m
n,
элементы которой имеют вид
Матрицей
смежности графа называется матрица
B(G)
n
n ,
которая имеет вид
B(G)i j = числу ребер, инцидентных одновременно i –той и j – ой вершинам.
П р и м е р .Задана матрица инцидентности графа (цифрами обозначены вершины, буквами – ребра графа).
. Требуется:
a) Восстановить граф по матрице инцидентности;
b) Выяснить, является ли граф связным;
c) Построить для данного графа матрицу смежности
Р е ш е н и е .
2
a
) e1 e5
1 e2 4
e4
e6
e3
3
h
Более компактным описанием графа по сравнению с матрицей инцидентности является список ребер.
Ребро e1 инцидентно вершинам 1 и 2.
Ребро e2 инцидентно вершинам 1 и 2.
Ребро e3 инцидентно вершинам 1 и 3.
Ребро e4 инцидентно вершинам 2 и 3.
Ребро e5 инцидентно вершинам 2 и 4
Ребро h инцидентно вершинам 4 и 4
b) .Граф является связным.
c) Матрица смежности имеет вид.
