Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретная математика.doc
Скачиваний:
12
Добавлен:
07.11.2018
Размер:
777.73 Кб
Скачать

Элементы теории графов.

Теория графов – редкий раздел математики, о котором доподлинно известно, когда он родился и кто был его основоположником. Понятие графа было введено Леонардом Эйлером в 1736 году в Санкт-Петербурге в работе, посвященной задаче о Кенигсбергских мостах. Город был расположен на берегах и двух островах реки. Острова и берега реки были связаны между собой семью мостами. Требовалось ответить на вопрос: можно ли, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя по каждому мосту ровно один раз.

a

Река

c

b

d

Следующий шаг в развитии теории графов принадлежит Кирхгофу, применившему теорию графов к теории электрических цепей. Сам термин «граф» на 200 лет моложе самой теории. Он введен в 1936 году венгерским математиком Кенигом.

Графы бывают двух видов – ориентированные и неориентированные. Мы будем, в основном, рассматривать ориентированные графы (орграфы, графы).

Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности: каждому ребру e поставлена в соответствие пара вершин (u, v) ( ребро е инцидентно вершинам u и v). Граф обозначается G=(V, E).

Ориентированные ребра называются дугами.

Граф, содержащий направленные ребра, называется орграфом.

Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными или кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей.

Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если множество его вершин V (а значит и ребер (V)) пусто.

Две вершины называются смежными, если существует хотя бы одно ребро их соединяющее.

Граф изображается в виде диаграммы, на которой вершины изображаются точками, а ребра, соединяющие две вершины, - линиями между этими точками (если граф ориентированный, то на ребре ставят стрелку).

Степенью вершины v называется количество ребер, инцидентных этой вершине. Вершина степени 0 называется изолированной.

Теорема.

Сумма степеней вершин графа всегда четная и равна 2∙ |E| (удвоенной мощности множества (Е)). (Считается, что вклад петли в степень вершины равен 2).

Граф называется связным, если двигаясь по ребрам, можно из любой его вершины попасть в любую другую.

e1

v1 v2 v2 v3 h

e2

v1 v2

e3

v3 v4 v1 v4

неограф без петель. орграф без петель мультиграф с тремя параллельными

ребрами и петлей

Матрицы графов.

Во многих задачах графы удобно задавать матрицами. Пусть граф G=(V, E) – граф c n вершинами и m ребрами, причем вершины и ребра занумерованы.

Матрицей инцидентности называется матрица A(G) размера mn, элементы которой имеют вид

Матрицей смежности графа называется матрица B(G) n n , которая имеет вид

B(G)i j = числу ребер, инцидентных одновременно i –той и j – ой вершинам.

П р и м е р .Задана матрица инцидентности графа (цифрами обозначены вершины, буквами – ребра графа).

. Требуется:

a) Восстановить граф по матрице инцидентности;

b) Выяснить, является ли граф связным;

c) Построить для данного графа матрицу смежности

Р е ш е н и е .

2

a) e1 e5

1 e2 4

e4

e6

e3

3

h

Более компактным описанием графа по сравнению с матрицей инцидентности является список ребер.

Ребро e1 инцидентно вершинам 1 и 2.

Ребро e2 инцидентно вершинам 1 и 2.

Ребро e3 инцидентно вершинам 1 и 3.

Ребро e4 инцидентно вершинам 2 и 3.

Ребро e5 инцидентно вершинам 2 и 4

Ребро h инцидентно вершинам 4 и 4

b) .Граф является связным.

c) Матрица смежности имеет вид.