![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дискретная математика.
- •Множества.
- •Примеры
- •Или по другому
- •Операции над множествами.
- •Основные свойства операций над множествами.
- •Алгебра высказываний.
- •Логические операции над высказываниями.
- •Отрицание.
- •Конъюнкция.
- •Эквиваленция
- •Импликация.
- •Формулы алгебры высказываний.
- •Элементарные высказывания, символы логических переменных – формулы;
- •Если f1 и f2 – формулы алгебры высказываний, то
- •Других формул алгебры высказываний нет.
- •Равносильность формул.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к сднф.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к скнф.
- •Минимизация днф.
- •Способы задания булевых функций.
- •Табличный способ задания.
- •Графический способ задания.
- •Аналитический способ задания.
- •Элементы теории графов.
- •Матрицы графов.
- •Некоторые общие понятия теории графов.
- •Взвешенные графы и алгоритмы поиска кратчайшего пути.
- •Задача о кратчайших путях.
- •Элементы теории алгоритмов.
- •Понятие автомата.
- •Машина Тьюринга.
- •Автомат Мили.
- •Правило суммы.
- •Правило прямого произведения.
- •Размещения с повторениями.
- •Размещения без повторений.
- •Перестановки.
- •Сочетания.
- •Сочетания с повторениями.
Автомат Мили.
Как было указано выше рекуррентные соотношения
где q(t), q(t
+ 1)
Q, x(t)
X, y(t)
Y, дополненные начальным
условием q(1) = q0,
задают оператор T, который
преобразует всякую конечную
последовательность входящих символов
x = x(1) x(2) ...x(r) в некоторую последовательность выходных символов
y = Tx = y(1) y(2) .... y(r) .
Автомат называется конечным, если его внутренний алфавит конечен. Каждый конечный автомат может быть представлен двумя конечными таблицами с двойным входом, соответствующими функциям Ψ и Φ. В этих таблицах, которые называются соответственно матрицей переходов и матрицей выходов, строки занумерованы входными буквами, а столбцы состояниями.
П р и м е р .
Пусть Q = {1, 2, 3}, X ={a, b}, Y = {a, b, c}. Φ, Ψ заданы таблицами 1 и 2.
Команды данного автомата будут иметь вид:
1) 1а→3b, 2) 1b→2c, 3)2a→3a, 4)2b→3c, 5)3a→1b, 6) 3b→3c.
Таблица 1 Таблица 2.
Ψ(q, x) Φ(q, x)
Пусть в некоторый момент времени t автомат находится в состоянии 1 и на вход его в моменты t, t + 1, t + 2 подается последовательность abb, тогда автомат перерабатывает ее в выходную последовательность bcc, и в момент t + 3 будет находиться в состоянии 3.
Комбинаторика.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Комбинаторика имеет широкий круг приложений (теория вероятностей, теория информации и, наконец, математический анализ).
Определение.
Допустим имеем множество А, состоящее из n элементов. Будем составлять из элементов этого множества различные группы, содержащие по m элементов каждой группе. Такие группы называются соединениями.
Комбинаторика выясняет, сколько соединений из n элементов по m, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить.
Правило суммы.
Пусть А и В – конечные множества такие, что
А ∩ В =
Интерпретация.
Если элемент аА
можно выбрать m
способами, и если после каждого
такого выбора элемент b
В
можно выбрать n
способами, то выбор элемента х
А
B
(либо А, либо В) можно осуществить m
+ n способами.
Пример. В группе 25 студентов. 6 из них знают из иностранных языков только немецкий, а 12, только английский. Тогда 18 человек знают хотя бы один иностранный язык.
Правило прямого произведения.
Пусть А и
В – конечные множества причем |A|
= m, |B| = n.
Тогда |A=
m∙n.
Интерпретация.
Если элемент a
A
можно выбрать m способами, и после
каждого такого выбора элемент b
B можно выбрать n
способами, то выбор пары (a,
b) в указанном порядке
можно осуществить m∙n
способами.
П р и м е р .
Найти число маршрутов из пункта М в пункт N через пункт К. Из М в К ведут 5 дорог, а из К в N ведут 3 дороги.
M N
K
Р е ш е н и е
.Введем два множества S
={ s1, s2,
s3, s4,
s5} – дороги из М в
К, и Т = {t1, t2,
t3} – дороги из К в
N. Теперь дорогу из M
в N можно представить
парой (si,
tj), где
Значит
-
это множество всех дорог из M
в N, количество которых
равно |
|
= 3∙5 = 15.